Diferencia de valores j-invariantes y la conjetura abc

Question

He aprendido de el siguiente ejemplo, en un reciente seminario: si $j(\tau)$ denota la habitual $j$-invariante, y $\alpha = (-1+i\sqrt{163})/2$, luego \begin{align*} \frac{j(i)}{1728} &= 1 \\ \frac{-j(\alpha)}{1728} &= 151931373056000 = 2^{12}5^323^329^3 \\ \frac{j(i)-j(\alpha)}{1728} &= 151931373056001 = 3^37^211^219^2127^2163. \end{align*} Un cálculo revealts que $(a,b,c) = (1, 151931373056000, 151931373056001)$ es una razonablemente alta calidad abc triple: si $R$ denota el radical de $abc$ (el producto de los distintos números primos dividiendo $abc$), luego $$ q(a,b,c) = \frac{\log c}{\log R} = 1.20362\dots. $$

Mi pregunta es: es esto una desafortunada casualidad (incluyendo el hecho de que $163$ divide $c$), o es este ejemplo se parte de una teoría? Hay familias de alta calidad abc triples que provienen de las diferencias de $j$-invariantes?

Answer 1

Hay una hermosa teoría por Bruto y Zagier (En singular módulos, J. Reine Angew. De matemáticas. 355 (1985), 191-220) que explica completamente la factorizations de $$ j(\tau_1)-j(\tau_2) $$ para $\tau_1,\tau_2$ acostado en (posiblemente dos diferentes) imaginario cuadrática campos. Hay recientes extensiones por Kristin Alto y Bianca Viray, y allí el estado del resultado. Por lo que estos números son siempre muy factorizable, esto no es en absoluto un fenómeno aislado! Y la aparición de 163 aquí es predecible así.

Sin embargo, en general $j(\tau)$ se encuentran en algunos abelian extensión de un imaginario cuadrática de campo, esto es parte de la teoría de la CM para curvas elípticas. Estos casi nunca son números racionales, de hecho no son exactamente 13 imaginario cuadrática irracionalidades $\tau$, incluyendo a $i$ e $\alpha$ a partir de su ejemplo, para que $j(\tau)$ es de ${\mathbb Q}$ - Noam Elkies tiene una lista completa en su respuesta. Así que usted no será capaz de construir muchas ABC ejemplos como los que, por desgracia.

Answer 2

Como T. Dokchitser explicó, en efecto, hay una buena razón para esto, pero $j(\alpha) = -640320^3$ es el último ejemplo de la clásicos $j$-invariante. (Una de las motivaciones para mi "Shimura curva de cálculos" (LNCS 1423 [=HORMIGAS-3 procedimiento, 1998]) era encontrar exóticas ABC triples viniendo de CM puntos en las curvas de Shimura, pero no espectacular ejemplo activado.) Todavía la conexión puede ser utilizado en la dirección opuesta. Si somos de alguna manera sabía que la conjetura ABC (con efectivo constantes), pero no sabe aún que ${\bf Q}(\alpha)$ es la última cuadrática imaginario campo de la clase número uno, entonces podríamos use el hecho de que $j(\alpha)$ es un cubo y $j(\alpha)-12^3$ es casi una plaza para resolver el $h=1$ problema. En el año 2000 Granville y Stark (Inventar. De matemáticas. 139 #3, 509$-$523) usa esta idea para demostrar que una conjetura ABC sobre número arbitrario de los campos (con efectivo constantes) implicaría una lo suficientemente fuerte como el límite inferior de $h(-D)$ a desterrar la Siegel cero para el imaginario cuadrática de personajes! Por desgracia, este enfoque ha para producir un incondicional de la prueba.

P. S. (En respuesta a la OP comentario sobre T. Dokchitser aceptada en la respuesta) Aquí está la lista de $13$ discriminantes $-D$ de los imaginarios cuadrática órdenes de la clase número 1 y los correspondientes números enteros $j = j(\alpha_D)$ con $\alpha_D = (D + \sqrt{-D})/2$: $$ \begin{array}{c|cccccccc} -D & -3 & -4 & -7 & -8 & -11 & -12 & -16 & -19 & \\ \hline j & 0 & 12^3 & -15^3 & 20^3 & -32^3 & 2\cdot 30^3 & 66^3 & -96^3 & \end{array} $$ $$ \begin{array}{c|ccccc} -D & -27 & -28 & -43 & -67 & -163 \\ \hline j & -3 \cdot 160^3 & 255^3 & -960^3 & -5280^3 & -640320^3 \end{array} $$