¿Es el grupo de puntos enteros en un esquema de grupo de tipo finito sobre Z finitamente presentado?

Question

Sea $G$ sea un esquema de grupo de tipo finito sobre $\mathbf{Z}$ . Debe $G(\mathbf{Z})$ estar finitamente presentada?

(La pregunta se inspira en un intento aún no exitoso de responder a una pregunta de Brian Conrad .)

Algunos casos especiales:

1. Si $G$ es el modelo de Néron de una variedad abeliana sobre $\mathbf{Q}$ , entonces una respuesta positiva equivale al teorema de Mordell-Weil (combínese con la restricción de escalares para obtener el teorema completo de Mordell-Weil).

2. Si $G$ es la restricción de escalares de $\mathbf{G}_m$ del anillo de enteros de un campo numérico hasta $\mathbf{Z}$ entonces se obtiene una respuesta positiva a partir del teorema de la unidad de Dirichlet.

Answer 1

Del teorema 6.12 de Borel y Harsh-Chandra, "Subgrupos aritméticos de grupos algebraicos", se deduce que $G(\mathbb{Z})$ está finitamente generada si $G$ es afín. Quizás se pueda combinar esto con el teorema de Chevalley para deducir la generación finita en el caso general (no necesariamente afín).

EDIT (Añadida idea para la prueba del caso general; véase también el comentario de Torsten Ekedahl más abajo)

EDITAR (Prueba completada (suponiendo $G$ está separado) y simplificado utilizando los comentarios de BCnrd más abajo)

Como se expone en los comentarios a continuación, podemos suponer $G$ es plana y también podemos suponer que es conexa. Por el teorema de Chevalley, existe un esquema de subgrupo afín $H_{\mathbb{Q}}$ de la fibra genérica $G_\mathbb{Q}$ de $G$ tal que el cociente $G_{\mathbb{Q}}/H_\mathbb{Q}$ es una variedad abeliana. Sea $H$ sea el cierre de Zariski de $H_{\mathbb{Q}}$ en $G$ con la estructura inducida reducida. A continuación, $H$ es un esquema de subgrupo cerrado de $G$ . Por un teorema de Raynaud (ver comentario de BCnrd más abajo para la referencia) $H$ también es afín.

Tenemos una incusión de grupos

$G(\mathbb{Z})/H(\mathbb{Z}) \subset G(\mathbb{Q})/H(\mathbb{Q}) \subset (G_{\mathbb{Q}}/H_{\mathbb{Q}})(\mathbb{Q})$ .

Desde $G_{\mathbb{Q}}/H_{\mathbb{Q}}$ es una variedad abeliana, por el teorema de Mordell-Weil $(G_{\mathbb{Q}}/H_{\mathbb{Q}})(\mathbb{Q})$ es un grupo abeliano finitamente generado, por lo que también lo es $G(\mathbb{Z})/H(\mathbb{Z})$ . Desde $H(\mathbb{Z})$ está finitamente generada por el teorema de Borel-Harish-Chandra, se deduce que $G(\mathbb{Z})$ está finitamente generada.