Teorema ergódico y análisis no estándar

Question

Esta es una cita de Conferencias sobre la teoría ergódica por Halmos:

No puedo resistir la tentación de concluir estos comentarios con una una "prueba" alternativa del teorema ergódico teorema ergódico. Si $f$ es una función de valor complejo sobre los enteros no negativos, escriba $\int f(n)dn=\lim > \frac{1}{n}\sum_{j=1}^nf(n)$ y siempre que el límite exista llamamos a tales funciones integrables. Si $T$ es una transformación que preserva la medida en un espacio $X$ entonces $$ > \int\int|f(T^nx)|dndx=\int\int|f(T^nx)|dxdn=\int\int|f(x)|dxdn=\int|f(x)|dx<\infty. > $$ Por lo tanto, por el "teorema de Fubini" (!), $f(T^nx)$ es una función integrable de sus dos argumentos, y por lo tanto, para casi cualquier $x$ es una función integrable de $n$ . ¿Puede alguna de este sinsentido tiene sentido?

¿Se puede dar sentido a alguna de estas tonterías mediante un análisis no estándar? Sé que Kamae dio una breve prueba del teorema ergódico utilizando el análisis no estándar en Una demostración sencilla del teorema ergódico mediante el análisis no estándar , Israel Journal of Mathematics, Vol. 42, No. 4, 1982. Sin embargo, tengo que decir que no estoy satisfecho con su prueba. Es complicada y poco esclarecedora, al menos para mí. Además, no se parece en nada a la llamada prueba propuesta por Halmos. En realidad, la idea de Kamae se puede convertir en norma de una manera muy sencilla. Véase, por ejemplo Una demostración sencilla de algunos teoremas ergódicos por Katznelson y Weiss en el mismo número del Israel Journal of Mathematics. Por cierto, el artículo de Kamae tiene 7 páginas y el de Katznelson-Weiss, 6.

Para resumir, ¿existe una prueba no necesariamente corta pero conceptualmente clara y esclarecedora del teorema ergódico utilizando un análisis no estándar, posiblemente basado en la intuición de Halmos?

Answer 1

Creo que la respuesta es "no", al menos manteniéndose fiel al espíritu del texto de Halmos. La "prueba" de Halmos, de ser válida, implicaría algo mucho más fuerte (y falso), a saber, que $\lim_{N \to \infty} \frac{1}{N} \sum_{n=1}^N f(T_n x)$ convergen para casi todo x, donde $T_1, T_2, \ldots$ son una secuencia arbitraria de transformaciones que preservan la medida. Esto no es cierto ni siquiera en el caso de que X sea un conjunto de dos elementos. Así que cualquier prueba del teorema ergódico debe aprovechar de alguna manera la ley de grupo $T^n T^m = T^{n+m}$ de alguna manera no trivial.

Dicho esto, sin embargo, el análisis no estándar genera ciertamente un límite funcional de Banach $\lambda: \ell^\infty({\bf N}) \to {\bf C}$ que sí induce algo parecido a una integral, a saber, el funcional de Cesaro-Banach

$f \mapsto \lambda( (\frac{1}{N} \sum_{n=1}^N f(n) )_{N \in {\bf N}} ).$

Esto se asemeja a un funcional de integración en los números naturales, en el sentido de que es finitamente aditivo e invariable por traslación. Pero no es contablemente aditivo, y herramientas como el teorema de Fubini no se aplican directamente a él; además, este funcional tiene sentido incluso cuando los promedios no convergen, por lo que no parece una herramienta obvia para demostrar la convergencia.

Answer 2

Hay una breve prueba en el libro de Katok. Introducción a la teoría moderna de los sistemas dinámicos [Libro]