¿Haciendo geometría usando Feynman Path Integral?

Question

He oído a menudo en el folk-lore que Feynman Ruta Integral puede ser usada para calcular geométricas invariantes de un espacio.

Viene de un fondo en el estudio de la Teoría Cuántica de campos a partir de los libros como el de Weinberg, yo mismo he utilizado Feynman Camino Integrales para calcular la dispersión de partículas.

Antes yo había realizado cursos de la Geometría de Riemann y en estos días también estoy haciendo cursos en Topología Algebraica y por lo tanto creo que sería muy educativo si puedo ver exactamente cómo el cálculo de invariantes topológicos que uno hace aquí están relacionados con las ideas de Feynman.

Sería de gran ayuda si alguien me puede dar referencias que explican (esperemos que a partir con ejemplos sencillos!) cómo se puede usar la ruta de las integrales en la geometría.

Answer 1

Witten, la Supersimetría & Morse teoría es probablemente el más accesible de referencia sobre "métodos físicos" en topología y geometría.

Witten, de Dos Dimensiones, Teoría de Gauge Revisited -- contiene una ruta integral de construcción de la intersección de los números de el espacio de moduli de tv de conexiones

Witten, Topológico de la Teoría Cuántica de campos -- contiene una ruta integral de construcción de los invariantes de Donaldson

Witten, Topológico sigma modelos, y Witten, Espejo de Colectores y topológicas de campo teorías, el uso de la ruta de las integrales para el cálculo de la intersección de los números de módulos de espacios de holomorphic mapas.

Cualquier persona que la vea un patrón todavía?

Answer 2

Probar:

Witten, la teoría Cuántica de campos y el polinomio de Jones

Witten, El índice del operador de Dirac en bucle espacio

He encontrado tanto de estos papeles es bastante difícil de comprender. No sé nada más fácil referencias, y agradecería mucho si alguien pudiera sugerir algunas.

De todos modos, supongo que la idea básica es muy simple: Tomar un colector, tenga en cuenta el espacio de los "campos" en el colector (por ejemplo, un espacio de secciones de un vector paquete), no "integrales" sobre este espacio de los campos. Los resultados deben ser invariantes de su colector --- esto no es siempre cierto, pero esta es la idea o la esperanza, de todos modos.

Edit: también me gustaría añadir que (T)QFT tiene aplicaciones no sólo a la geometría/topología, pero también la teoría de la representación. Por ejemplo, echa un vistazo a estas bonitas notas de David Ben-Zvi.

Answer 3

"Feynman Ruta Integral puede ser usada para calcular geométricas invariantes de un espacio."

Hay varios métodos diferentes de hacer esto. Déjame que te explique una de ellas, pero recuerda que no es la única.

El punto es que primero se debe omitir el mundo "Feynman" ! Sólo las integrales son útiles para calcular geométricas invariantes - por ejemplo de Gauss-Bonnet teorema expresa de Euler características como la integral sobre el colector. La palabra "Feynman" aparece cuando consideramos infinito-dimensional colectores - así que necesitamos para "integrar" a través de infinitas dimensiones de los espacios. Sin embargo NO estamos realmente interesados en la geometría de dimensiones infinitas colectores - estamos interesados en lo finito-dimensional de los colectores. Parece que en algunas situaciones de dimensiones infinitas colectores son contractable a lo finito-dim o hay algunas heurísticas que se refiere invariantes de dimensiones infinitas variedades y finito-dim. Por ejemplo, si usted considera bucle espacio de M, colector sí es incrustadas en bucles(M) como subconjunto de la constante de bucles. Si tienes en cuenta las rotaciones de bucles - entonces constante bucles de punto fijo de esta acción - en este caso el colector es inf-oscuro pero con un punto fijo conjunto es finito-dim - así que teniendo en cuenta equivariant cálculos podemos obtener el resultado en finitos-dim resultados.

Así que el rojo es el siguiente -

en lo finito-dim caso de integrar formas cerradas en el colector y obtener invariantes

en Feynman instalación de ciertas integrales recuerda a formas cerradas en algunos inf-dim espacios (bucle espacio o lo que sea) así que la integración se obtiene invariante.

(En algunas situaciones "forma cerrada" menas con respecto a BRST diferencial).

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Los ejemplos clásicos son los relacionados con la Mathai-Quillen el formalismo y la interpretación en términos de QFT.

Permítanme sugerir a buscar un M. Blau El Mathai-Quillen Formalismo y Topológica de la Teoría del Campo http://arxiv.org/abs/hep-th/9203026

Y citar el resumen: "Estas notas de la conferencia de dar una introducción de la cuenta de un enfoque de cohomological la teoría de campo debido a Atiyah y Jeffrey, que se basa en la construcción de Gauss en forma de Thom formas por Mathai y Quillen. Los temas cubiertos son: una explicación de la Mathai-Quillen formalismo para finito dimensionales vector haces; la definición de regularización de Euler números de infinitas dimensiones del vector de paquetes; la interpretación de la mecánica cuántica supersimétrica como la regularización de la número de Euler de bucle espacio; la de Atiyah-Jeffrey interpretación de la teoría de Donaldson; la construcción de topológico calibre teorías de infinitas dimensiones del vector de paquetes de más espacios de conexiones."

Answer 4

Puede encontrar útiles las conferencias de Witten sobre el índice de Dirac sobre múltiples y espacios de bucle del curso IAS sobre teoría cuántica de campos .

Answer 5

Si lees francés, la encuesta de Henniart Les inégalités de Morse. Séminaire Bourbaki, 26 (1983--1984), Exposé No. 617, 19 p. podría ser un buen lugar para comenzar. Explica la prueba analítica de Witten de las desigualdades Morse y lo llama natural y elegante.