¿Qué tienen que ver los grupos de bucles y las álgebras de von Neumann con la cohomología elíptica?

Question

Recordemos que el complejo de $K$-la teoría es un cohomology teoría sobre espacios topológicos, que puede ser descrito de varias formas equivalentes:

• Dado un complejo finito $X$, $K^0(X)$ es el grupo de Grothendieck de vector de paquetes en $X$. $K^*$ es incluso periódicos, y esto determina la totalidad de la cohomology de la teoría. Utilizando el producto tensor de vector de paquetes, $K$ se convierte en un multiplicativo cohomology de la teoría. Hay una correspondiente anillo de espectro.
• La clasificación de espacio $BU \times \mathbb{Z}$ para $K^0$ es, por un teorema de Atiyah, el espacio de los operadores de Fredholm en un countably-dimensional espacio de Hilbert. Por lo que podemos pensar de las clases en $K^0(X)$ como "familias de operadores de Fredholm" parametrizadas por $X$: el "índice" de una familia debe ser un virtual vector paquete, el cual se conecta a la definición anterior.
• $K$-teoría es un periódico de la teoría, por lo que es complejo-orientable y corresponde a un grupo formal en $K^0(\ast) = \mathbb{Z}$. Este grupo formal es el multiplicativo, que resulta ser Landweber-exacto. En consecuencia, se puede construir $K$-directamente la teoría de la formal multiplicativo grupo (una vez que uno tiene el espectro de $MU$) a través de $K_\bullet(X) = MU_\bullet(X) \otimes_{MU_\bullet} K_\bullet$.
• El espectro de $K$-teoría puede ser obtenida tomando el anillo espectro de $\Sigma^\infty \mathbb{CP}^\infty_+$ (que es un anillo de espectro como $\mathbb{CP}^\infty$ es topológico, abelian monoid) y la inversión del elemento natural en la $\pi_2$. (Este es un teorema de Snaith.)

Es notable que $K$-teoría puede ser descrito tanto geométricamente (a través del vector de paquetes o de los operadores) o en forma algebraica (a través de grupos formales o Snaith del teorema). La única explicación que se me ocurre para esto es que la correspondencia entre (complejo-orientable) anillo de los espectros y de los grupos formales se da más o menos en términos de las clases de Chern de vector de paquetes, por lo que un cohomology teoría construida directamente a partir del vector de paquetes tiene una buena oportunidad en el suministro de un simple grupo formal de la ley. (Se puede utilizar este tipo de argumento para probar Snaith del teorema, por ejemplo).

Mucho menos formal ejemplo de un grupo formal es la que se asocia a una curva elíptica. Si $E/\mathrm{Spec} R$ es una curva elíptica, a continuación, bajo la hipótesis apropiada (Landweber exactitud, o la curvatura de la mapa de $\mathrm{Spec} R \to M_{1,1} \to M_{FG}$, o más concretamente que $R$ es de torsiones y para cada una de las $p$, la Naturaleza invariante $v_1$ es un nonzerodivisor en $R/pR$) podemos construir un "elíptica cohomology" teoría de la $\mathrm{Ell}^*$, lo que es aún periódicas y cuya grupo formal es la de $E/R$. El asociado de grupo formal puede tener una altura de hasta $2$, por lo que tenemos algo mucho más complicado de lo que $K$-teoría.

Se ha sugerido que debería haber una interpretación geométrica de la elíptica cohomology. Esto parece mucho más difícil, porque el grupo formal de la ley asociada a una curva elíptica es menos primaria de $\hat{\mathbb{G}_m}$. Existen varios programas (que comienzan con Segal de la encuesta, creo), todos de los cuales yo no sé nada acerca de, la interpretación de la elíptica cohomology clases en términos de álgebras de von Neumann, bucle grupo de representaciones, de conformación del campo de las teorías, ...

Puedo entender por qué una interpretación geométrica de la elíptica cohomology que sería lo deseable, pero es difícil de explicar por qué los investigadores en esta área se están concentrando en estos objetos específicos. Existe un "alto concepto de" explicación para esto, y la motivación (para alguien sin experiencia en la geometría) de cómo se puede "creer" en estas visiones? Hay una razón bucle de grupos debe ser "altura de dos", donde el grupo unitario es "la altura de uno"?

Answer 1

David Roberts menciona en sus comentarios de la relación

K-teoría : spin grupo
TMF : cadena de grupos

Permítanme recomendar las primeras 6 páginas de mi unfinished artículo con el uniforme de la construcción de $SO(n)$, $Spin(n)$, y $String(n)$, lo que sugiere la existencia de una similar de construcción uniforme de $H\mathbb R$, $KO$ (o $KU$), y $TMF$. Verás que álgebras de von Neumann aparecer en la construcción. Más precisamente, álgebras de von Neumann aparecen en la definición de la conformación de redes. Estos últimos son functors de 1-colectores para von Neumann algberas.

Para un resumen de los conjetural de la relación entre la conformación de redes y $TMF$, eche un vistazo a la página 8 de este papel de la mina (conjunta con Chris Douglas).

Bucle de grupos de rendimiento no trivial ejemplos de conformación de redes. Aquellos conformación de redes relacionadas (conjecturally) a equivariant $TMF$.

Answer 2

Existen varios programas (que comienzan con Segal de la encuesta, creo), todos de los cuales yo no sé nada acerca de, la interpretación de la elíptica cohomology clases en términos de álgebras de von Neumann, bucle grupo de representaciones, de conformación del campo de las teorías, ...

Puedo entender por qué una interpretación geométrica de la elíptica cohomology que sería lo deseable, pero es difícil de explicar por qué los investigadores en esta área se están concentrando en estos objetos específicos.

Usted probablemente sabe más de esto por ahora, pero aquí están algunos pensamientos. Como de costumbre voy a estar trabajando en una heurística de nivel a lo largo de esta respuesta.

Álgebras De Von Neumann. Un lugar para comenzar es la observación es que para $H$ un infinito-dimensional espacio de Hilbert, el álgebra de von Neumann $B(H)$ ha automorphism grupo de la proyectiva grupo unitario $PU(H)$. $PU(H)$ encaja dentro de una corta secuencia exacta

$$1 \to U(1) \to U(H) \to PU(H) \to 1$$

y $U(H)$ es contráctiles por Kuiper del teorema; por lo tanto $PU(H)$ es $B^2 \mathbb{Z}$, e $BPU(H)$ es $B^3 \mathbb{Z}$. Por lo tanto $H^3(X, \mathbb{Z})$ es, en un sentido, un "grupo de Brauer" de $X$ describir paquetes de álgebras de von Neumann (isomorfo a $B(H)$) en $X$.

La importancia de esta observación es que el $H^3(X, \mathbb{Z})$ natural cohomology grupo de parametrización de giros de la K-teoría sobre $X$; equivalentemente, existe un natural mapa de $B^3 \mathbb{Z}$ a $BGL_1(KU)$. Dado un conjunto de álgebras de von Neumann sobre $X$, la correspondiente trenzado K-teoría de grupos son algo así como la K-teoría de módulo de paquetes de Hilbert módulos sobre el paquete de álgebras de von Neumann, pero no confía en mí para tener los detalles aquí.

Ahora es también conocido (ver, por ejemplo, Ando-Blumberg-Gepner) que $H^4(X, \mathbb{Z})$ natural cohomology grupo de parametrización de giros de tmf sobre $X$; equivalentemente, existe un natural mapa de $B^4 \mathbb{Z}$ a $BGL_1(tmf)$. Si usted podría construir una (mayor) de la categoría que deloops álgebras de von Neumann en un adecuado sentido, se podría esperar para darse cuenta de $BPU(H) \cong B^3 \mathbb{Z}$ como los automorfismos de un objeto en esta categoría y, a continuación, las familias de los objetos sobre $X$ podría ser un geométricas avatar de estos giros de tmf en la misma forma que anteriormente. Yo creo que la conformación de redes es explícitamente la intención de ser una delooping.

Bucle grupo de representaciones. Este es el análogo de $G$-equivariant K-teoría tiene algo que ver con la teoría de la representación de $G$. Una imagen de tmf cuya exactitud no puedo comentar es que se debe buscar de forma heurística como $K(ku)$, el cohomology de la teoría presentada por (Baas-Dundas-Rognes) 2-vector de paquetes. Por lo $G$-equivariant tmf debe buscar de forma heurística como $G$-equivariant 2-vector de paquetes, lo que por encima de un punto debe buscar de forma heurística como representaciones de $G$ a (convenientemente dualizable) 2-espacios vectoriales.

Sea lo que sea, una cosa debe tener un "carácter" que, en lugar de ser una función de la clase en $G$, o lo que es equivalente a una función en el adjunto cociente $G/G$, es por el contrario un equivariant vector paquete en la $G/G$. Ahora $G/G$ se ve de forma heurística como la clasificación de la pila de $BLG$ del bucle grupo $LG$, y por lo tanto un equivariant vector paquete en la $G/G$ se ve de forma heurística como una representación de $LG$. Liberado-Hopkins-Teleman hace que este precisa. La no-equivariant versión de esta historia es Witten la historia acerca de tmf tener algo que ver con ($S^1$-equivariant?) K-teoría de la libre bucle espacio de $LX$.

Conformación del campo de las teorías. Este es el análogo de la K-teoría de ser presentable por el vector de paquetes con conexión. Una manera de pensar acerca de un vector paquete con conexión en un colector $X$ es que es un "$1$-dimensiones topológicas teoría de campo de más de $X$": es decir, se asigna un espacio vectorial de un conjunto finito de puntos equipados con señales en $X$ (el producto tensor de cualquiera de las fibras del vector paquete o su doble, dependiendo de la orientación), y asigna un mapa de espacios vectoriales para cada orientadas cobordism entre dichos puntos en $X$ (el producto tensor de la holonomies o la evaluación o coevaluation mapas).

La motivación histórica para generalizar esto a $2$-dimensiones de conformación en lugar de topológico campo de las teorías es, creo yo, para explicar la modularidad de las propiedades de la universidad de Witten género. Pero de nuevo, no confías en mí para tener los detalles aquí. (Supongo que es $2$-dimensiones topológicas en lugar de conformación del campo de las teorías sobre $X$ que se parecen más a $2$-vector paquetes.)