De cuántas maneras puede un iterado tangente paquete (T^k)M verse como un paquete de fibra de más de (T^(k-1))M?

Question

Sea M un suave colector. El doble tangente paquete, TTM,puede ser visto como un paquete de fibra de más de TM de dos maneras, con la proyección de mapas dada por T_nM (es decir, la derivada de la proyección de la mt M) y n_TM (es decir, el estándar de la proyección en TM). También hay un canónica de la involución K:TTM->TTM, que básicamente volteretas en el interior de dos coordenadas. Resulta ser un diffeomorphism y una transformación natural de T^2 para sí mismo. De hecho, Tn_M y n_TM están relacionados a través de la composición con K.

Mi pregunta es, ¿que pasa si seguir tomando más y más alto tangente haces? Evidentemente, usted debe tener más formas de escribir como lo haces de fibras sobre el menor tangente paquete. Intuitivamente, al menos para mí, se siente que hay k maneras de ver (T^k)M como un paquete de fibra de más de (T^(k-1))M: inductivo, es el derivado de todo lo anterior la proyección de mapas, y la forma ortodoxa. ¿Hay otros?

Hay siempre un diffeomorphism (o cualquiera que sea el adecuado noción está aquí), que tendrá una proyección de mapa a la otra como en el caso de la canónica de involución en k=2? Si no, ¿qué va mal, y ¿tiene algún significado?

Answer 1

Si usamos la notación $(TM, p_M, M)$ por la tangente paquete de cualquier colector $M$, entonces estás en lo correcto al pensar que $T^{\ k}M$ $k$ natural vector de estructuras de paquetes de más de $T^{\ k-1}M$ a $M$, haciendo un diagrama que es un $k$-dimensiones del cubo. Una estructura de este tipo es una $k$veces vector paquete (Ver artículos de Kirill Mackenzie) y $T^{\ k} M$ es particularmente simétrica. Una manera fácil de escribir el $k$ paquete de mapas sería

$$T^{\ a}(p_{T^{\ b} M}) $$

para $a+b+1 = k$, donde esto significa que estamos tomando la $a$-ésima derivada de la tangente paquete de proyección $T\ (T^{\ b}M)\to T^{\ b}M$, produciendo un mapa de$T^{\ k}$$T^{\ k-1}$.

Para ver las simetrías de $T^{\ k} M$ es más conveniente para describir el functor de una manera directa, en lugar de como un $k$-composición del pliegue, como se podría pensar de los vectores de tangentes como infinitesimal curvas, usted puede pensar de puntos en $T^{\ k} M$ infinitesimal mapas de una unidad de $k$-cubo en $M$. Las restricciones a la $k$ caras del cubo (pasando por el origen) le da a su $k$ mapas.

Desde ese punto de vista, es claro que se pueden permutar las $k$ ejes de coordenadas y conseguir otro mapa de un cubo en $M$, por lo que el functor $T^{\ k} M$ $S_k$ grupo de naturales de automorfismos.

Por cierto, para hacer lo anterior en una definición de $T^{\ k} $, se podría hacer lo siguiente:

Considere la posibilidad de la grasa punto de $fp$, lo que usted debe pensar como un espacio en el que las funciones lisas forma el anillo de $\mathbb{R}[x]/(x^2)$. Entonces la tangente bundle $TM$ puede ser pensado como el espacio de los mapas de la grasa punto a $M$, es decir,$TM=C^\infty(fp,M)$. Este tipo de mapas, por cierto, se acaba de álgebra homomorphisms del álgebra $C^\infty(M,R)$$\mathbb{R}[x]/(x^2)$. Se puede comprobar que dicho mapa tiene dos componentes $f_0 + f_1 x$, $f_0$ es un homomorphism a $\mathbb{R}$ definición de un ideal maximal (es decir, un punto de $p$$M$) y $f_1$ define una derivación (es decir, un vector en el $p$).

Precisamente de la misma manera se puede considerar una cúbica grasa $k$punto $kfp$ con funciones

$$\mathbb{R}[x_1,...,x_k]/(x_1^2,...,x_k^2)$$

y, a continuación, defina $T^{\ k} M = C^\infty(kfp,M)$. A continuación, puede ver la simetrías como automorfismos de la anterior álgebra, y el $k$ mapas de preguntar acerca de como homomorphisms $C^\infty(kfp)\to C^\infty\big((k-1)fp\big).$

Probablemente hay cosas más sutiles que decir acerca de estos superior a afirmar haces, pero espero que la superior es de al menos correcto.

Answer 2

MODIFICADO el POST: Marco Gualtieri puntos fundamentales de un error que cometí. Puedo retirar mi afirmación de que hay infinitamente muchos de esos mapas. Me parece que hay un surjective mapa de $T^n M \to T^{k}M$ por cada monotono inyectiva mapa de $\lbrace 1,\dots,k\rbrace \to \lbrace 1,\dots, n\rbrace$.

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POST ORIGINAL: creo que la "infinidad" es la respuesta.

Podemos pensar de $TM$ como el efecto de la aplicación de una relación de equivalencia (dos caminos son equivalentes si tienen el mismo uno de los jets en el origen) en el espacio de vías lisas $\Bbb R\to M$, lo que voy a indicar como $M^{\Bbb R}$. Del mismo modo, el $n$veces reiterado tangente bundle $T^nM$ está dado por una similar relación de equivalencia en $M^{\Bbb R^n}$. Para cualquier lineales de incrustación $\Bbb R^k \to \Bbb R^n$ habrá un mapa de restricción $T^nM \to T^kM$.
Esto le da una infinidad de mapas.

Del mismo modo, para cualquier lineal surjection $\Bbb R^n \to \Bbb R^k$ uno obtiene una incrustación $T^kM \to T^nM$.

Si utilizamos sólo coordinar las inclusiones y coordinar las proyecciones, a continuación, la estructura que se obtiene es un objeto simplicial $X.$ $X_k = T^{k+1}M$ aumentada sobre $M$. Esto es debido a que $M \mapsto TM$ es un triple (comonad). Siempre he pensado que uno podría tener sentido de que el complejo de de Rham desde este punto de vista (de alguna manera).