¿Cómo se relaciona la red modular libre en 3 generadores con el espacio de 8 dimensiones?

Question

Aquí hay tres hechos que el sonido potencialmente relacionados. ¿Cuáles son las relaciones?

1. En 1900, Dedekind construido el libre modular de celosía en 3 generadores como un sublattice de la red de subespacios de un 8 dimensiones de espacio vectorial. Si la base del espacio vectorial es $e_1, \dots, e_8$, miró a los subespacios $$X = \langle e_2, e_4, e_5, e_8 \rangle , \; Y = \langle e_2, e_3, e_6, e_7 \rangle, \; Z = \langle e_1, e_4, e_6, e_7 + e_8 \rangle$$ En varias ocasiones tomar las intersecciones y uniones, usted puede construir hasta el 28 de subespacios, a partir de estos tres. Esto demuestra la libre modular de celosía en 3 generadores tiene al menos 28 elementos. De hecho, tiene exactamente el 28 de elementos. Creo que Dedekind mostró esta trabajando gratis modular de celosía 'a mano' y tomando nota de que, también, tiene 28 elementos.

2. La dimensión de $\mathrm{SO}(8)$ es de 28. Su Mentira álgebra $\mathfrak{so}(8)$, también llamado $D_4$, cuenta con 12 positivos raíces, y su Cartan álgebra tiene dimensión 4. Como de costumbre, la Mentira álgebra es atravesado por el positivo raíces, un número igual de negativo raíces, y la Cartan subalgebra, por lo que tenemos $$28 = 12 + 12 + 4$$

3. El 3 subespacio problema nos pide para clasificar a los triples de los subespacios de un finito-dimensional espacio vectorial $V$, hasta invertible transformaciones lineales de $V$. Hay un número finito de posibilidades, a diferencia de la situación para el 4 subespacio problema. Una forma de ver esta es la nota que a las 3 de subespacios $X, Y, Z \subseteq V$ dar una representación de la $D_4$ carcaj. Esto no es nada profundo: una representación de la $D_4$ carcaj está a solo 3 mapas lineales $X \to V$, $Y \to V$, $Z \to V$, y aquí estamos tomando los inclusiones. El trivial es que indecomposable representaciones de cualquier Dynkin carcaj corresponden en un espacio natural de uno a uno de manera positiva con las raíces de la correspondiente Mentira álgebra. Así, en particular, el $D_4$ carcaj tiene 12 indecomposable representaciones. La representación viene de $X, Y, Z \subseteq V$ debe ser una suma directa de indecomposable representaciones, por lo que podemos clasificar a las posibilidades y resolver el 3 subespacio problema.

Aquí es una forma de hacer mi pregunta más concreta. Sin embargo, puede estar en el camino equivocado:

Hay una natural 1-1 correspondencia entre el 28 de elementos de la libre modular de celosía en 3 generadores y alguna base de $\mathfrak{so}(8)$?

Aquí hay otro más cauteloso manera:

Lo que se sabe sobre la relación entre el libre modular de celosía en 3 generadores y el 3 subespacio problema?

Sería de gran ayuda si se podría de alguna manera se relacionan directamente con la libre modular de celosía en 3 generadores a algo construido a partir de $D_4$. La libre modular de celosía en 3 generadores se parece a esto:

Para más información, consulte:

• Juan Báez, El libre modular de celosía en 3 generadores, La n-Categoría de Café, septiembre 19, 2015.

Answer 1

La Darmstadt escuela, particularmente Cristiana Herrmann, estudió el Gelfand Ponomarev documentos cuidadosamente para ver lo que dijo acerca de 4-genera modular celosías; ver cap. Herrmann, Rahmen und erzeugende Quadrupel en modularen Verbande, Álgebra Universalis, 14(1982) 357-387. Algunos de los resultados interesantes que incluyen:

1. El entramado de los subespacios de todos los $n$-dimensional espacio vectorial, $3 \le n < \infty$, durante un primer campo es $4$generados. Por otra parte, el cuadruplica la generación de todo el entramado se sabe. La dimensión de cada uno de los subespacios en la generación del sistema puede diferir de $n/2$ a la mayoría de los $2$.
2. El entramado de los subgrupos de $(\mathbb Z/p^k\mathbb Z)^n$ es de cuatro generado si $3 \le n < \infty$.

La esperanza era clasificar a los modulares celosías generado por cuádruples y para resolver el problema de $FM(4)$. Pero ahora se sabe que la palabra problema gratis modular celosías es indecidible.

Answer 2

Editado para ser más de una respuesta. Pero, por desgracia, bastante mal. Me disculpo por haber sido llevado por mi entusiasmo.

La imagen de la libre modular con entramado de arriba muestra los treinta elementos. Comparando con Grätzer del libro, parece que la parte superior e inferior de los elementos debe ser eliminado. Y que tiene sentido, como no hay manera de generar a partir de los otros elementos.

Sin embargo, creo que su imagen podría ser visto como el "libre modular de celosía en tres elementos con la parte superior e inferior del elemento".

La razón por la que no quiero decir para cambiar tu imagen, es que la parte de arriba de la media rango es exactamente el poset de raíces positivas de $D_4$! No sé por qué, a pesar de que.

Además comienza aquí: claramente, el más general de celosía se puede obtener de tres subvectorspaces de un espacio vectorial se obtiene sumando una copia de cada uno de los indecomposable representaciones de $D_4$ (con las flechas orientadas hacia el interior) de tal manera que todos los mapas son las inyecciones, porque si usted toma varias copias de una representación, no ayuda. Esto es casi lo Dedekind hizo, como se describió anteriormente, pero no del todo: él es que le faltan dos de ellos: el simple en el nodo central, y de la representación que es unidimensional en cada nodo (es decir, agregar $e_9$ en todos los de $X,Y,Z$, e $e_{10}$ en ninguno de ellos (en el espacio ambiental)). Luego de obtener el pleno de 30 elementos de la celosía.

Todo lo que a partir de aquí es bastante basura.

Para cada uno de los elementos de la celosía, usted puede preguntar "¿qué indecomposable representaciones sobrevivir aquí?" Esto no es realmente suficiente información, ya que, por ejemplo, la mayor indecomposable sólo "parcialmente" sobrevive (porque sólo uno de sus dos dimensiones en el medio nodo es golpeado por el mapa de $X$). Así, para el elemento X, la respuesta es "todos los indecomposable representaciones apoyado a más de X". Para $X \wedge Y$ "todos indecomposable representaciones apoyado a más de $X$ e $Y$. Etc.

Esto se traduce en el problema en una pregunta acerca de subconjuntos de indecomposable representaciones de $D_4$. De hecho, parece ser más simple para pensar acerca de los subconjuntos de indecomposable las representaciones, que se mató en cada nodo. Por lo tanto, para el nodo superior, no hay ninguno. Para el siguiente nodo de abajo, no es sólo el simple en el vértice central. Claramente, el conjunto de indecomposables que son asesinados en un determinado elemento de la red es cerrado bajo subrepresentations. Sin embargo, más es cierto. Por la inspección es decir, cegado por el optimismo, vemos que el conjunto de indecomposables asesinado por un determinado elemento de celosía también es cerrado bajo las extensiones. (Yo pensaba que esto era obvio, pero yo no lo creo. Sin embargo, es probable que exista una explicación conceptual.) Subcategorías cerrado en la lista de extensiones y subobjetos son llamados "de torsión libre de clases". La torsión-clases gratuitas en rep($D_4$) se sabe que en forma de red , pero no una construcción modular de la red. Y de hecho, el pleno de la celosía (el 30 de elementos) se compone de todos los torsión libre de clases dentro de las representaciones de $D_4$ para que los mapas son inyectiva. No hay suficientes torsión libre de clases, y en este caso no forman un sistema modular de celosía (no clasificado).

Answer 3

He aquí un bonito y limpio declaración que surgió de los debates sobre La n-Categoría de Café.

Una representación de la $D_4$ carcaj consta de tres lineal mapas $f_i : L_i \to L$ ($i =1,2,3$) entre finito-dimensional espacios vectoriales sobre su favorita de campo. Podemos tomar directo sumas de estas representaciones, y definir un indecomposable representación para uno que no es una suma directa de de los otros dos.

Dada una representación de la $D_4$ carcaj, las imágenes de los mapas de $f_i$ son subespacios de $L$. Estos generan un sublattice $\mathcal{L}$ de la celosía de todos los subespacios de $L$. Claramente $\mathcal{L}$ es un sistema modular de celosía con 3 generadores.

Teorema. Si tomamos una suma directa de representaciones indecomposable de la $D_4$ carcaj, uno de cada isomorfismo de clase, obtenemos un la representación de la $D_4$ carcaj cuyo correspondiente modular de celosía es la libre modular de celosía en 3 generadores. En esta representación los espacios de $\mathrm{im} (f_i)$ tiene dimensión 5 y el espacio $L$ tiene dimensión 10. 10 es el más pequeño posible de la dimensión de un espacio vectorial $L$ contiene subespacios que generar una copia de la libre modular de celosía en 3 generadores.

(Aquí debo subrayar que estoy usando celosía a significar un poset para que cada subconjunto finito tiene al menos un límite superior y mayor límite inferior. Tal cosa tiene una parte superior e inferior así como operaciones binarias $\vee$ e $\wedge$. Así, la libre modular de celosía en 3 generadores, en este sentido, cuenta con 30 elementos, incluidos los de libre adherido a la parte superior e inferior del elemento. Esto le da un limpiador de declaración del resultado de trabajar con Dedekind la definición original de la red.)

La prueba está al acecho en las discusiones aquí:

• Juan Báez, El libre modular de celosía en 3 generadores, La n-Categoría de Café, septiembre 19, 2015.

pero voy a poner una limpieza de la versión en Visual Insight el 1 de enero de 2016.