¿Cómo puede una función "apropiada" tener una pendiente vertical?

Question

Trazar la función $f(x)=x^{1/3}$ definida para cualquier número real $x$ nos da:

Dado que $f$ es una función, para cualquier valor dado de $x$ se asigna a un único valor de $y$ (y no a más de uno, ya que eso significaría que no es una función al no pasar la prueba de la línea vertical). Esta función también tiene una tangente vertical en $x=0$.

Mi pregunta es: ¿cómo es posible tener una función que también tiene una tangente vertical? Para tener una tangente vertical necesitamos 2 puntos verticales, lo que significa que no estamos trabajando con una función "correcta" ya que tiene múltiples valores de $y$ asignados a un solo $x$. ¿Cómo es posible que una función "correcta" tenga una tangente vertical?

Por lo que entiendo, en el gráfico que adjunté no podemos tomar la derivada en x=0 porque la pendiente es vertical, por lo tanto no podemos ver la tasa de cambio instantánea de x a y ya que el valor de y no es un valor (o muchos valores, como quieras verlo). ¿Cómo es posible tener una pendiente perfectamente vertical en una función? En este caso, puedo imaginar una curva muy empinada en 0... ¡pero vertical?!? No puedo entenderlo. ¿Cómo podemos tener una pendiente vertical en una función no vertical?

Answer 1

La línea tangente es simplemente una imagen ideal de lo que esperarías ver si haces zoom alrededor del punto.

$\hspace{8em}$

Por lo tanto, la línea tangente vertical a la gráfica $y = \sqrt[3]{x}$ en $(0,0)$ no dice más que la gráfica se volvería cada vez más empinada a medida que zoomamos más alrededor de $(0, 0)$.

También podemos aprender varias cosas a partir de esta intuición geométrica.

1. La línea no está obligada a pasar por dos puntos distintos, ya que la idea de una línea tangente en sí misma no impone tal condición innecesaria.

Por ejemplo, las líneas tangentes pasan por un solo punto incluso en muchos ejemplos clásicos como las secciones cónicas. En el otro extremo, una línea tangente puede pasar por infinitos puntos de la curva original, como en el ejemplo de la gráfica $y = \sin x$.

2. La línea tangente es puramente una noción geométrica, por lo tanto, no debería depender del sistema de coordenadas que se esté utilizando.

Por el contrario, identificar la curva como la gráfica de alguna función $f$ y diferenciarla sí depende del sistema de coordenadas. En particular, no es esencial que $f$ sea diferenciable para discutir una línea tangente en la gráfica $y = f(x)$, aunque es una condición suficiente.

El ejemplo del OP sirve como una demostración perfecta de esto. Diferenciar la función $f(x) = \sqrt[3]{x}$ no logra detectar la línea tangente en $(0,0)$, ya que no es diferenciable en este punto. Por otro lado, tiene perfecto sentido discutir la línea tangente vertical a la curva

$$ \mathcal{C} = \{(x, \sqrt[3]{x}) :x \in \mathbb{R} \} = \{(y^3, y) : y \in \mathbb{R} \}, $$

y de hecho la línea $x = 0$ es la línea tangente a $\mathcal{C}$ en $(0, 0)$.

Answer 2

No, no necesitamos dos puntos verticales. Por la misma idea, si la gráfica de una función $f$ tiene una línea tangente horizontal en algún lugar, entonces tiene que haber dos puntos de la gráfica de $f$ con la misma coordenada $y$. Sin embargo, la tangente en $0$ de $x\mapsto x^3$ (nota que esta no es la función que mencionaste) es horizontal, a pesar de que ningún par de puntos de su gráfica tienen la misma coordenada $y$.

Answer 3

Para obtener una tangente vertical necesitamos 2 puntos verticales ...

Aquí yace el error en tus suposiciones. Una tangente interseca una curva en el punto de tangencia en solo un punto.

Answer 4

La tangente vertical no significa que la función no sea biunívoca.

La recta tangente se encuentra con la función en el punto de tangencia. La función sigue siendo biunívoca. Si encuentras su función inversa, verás que la inversa es biunívoca y tiene derivada igual a cero, por lo que tu función también es biunívoca aunque la recta tangente sea vertical.

Answer 5

Mi pregunta es: ¿cómo podemos tener una función que también tenga una tangente vertical? Para obtener una tangente vertical necesitamos 2 puntos verticales...

Como han señalado otros, esta es la raíz del malentendido. Dicho esto, me gustaría intentar resaltar de manera sucinta el problema central: y es que las derivadas no están definidas por la secante de dos puntos, sino por el límite de secantes aproximándose a cierto punto.

En el ejemplo del OP, al tomar $x = 0$, a medida que tomamos otros valores de dominio $x'$ que se acercan a $x$, inspeccionar la tendencia de las pendientes de las secantes es el significado esencial de la derivada allí. En este caso, las pendientes de las secantes crecen sin límite, lo que indica una derivada indefinida (o infinita), y por lo tanto una asíntota vertical. La definición de Wikipedia:

Definición del límite

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Una función $f$ tiene una tangente vertical en $x = a$ si el cociente de diferencia usado para definir la derivada tiene límite infinito: $$\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h) - f(a)}{h} = {+\infty}\quad\text{o}\quad\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h) - f(a)}{h} = {-\infty}.$$

El artículo de Wikipedia sobre tangentes verticales utiliza el mismo ejemplo de $f(x) = x^{1/3}$, así que espero que eso aclare las cosas. Sospecho que este tipo de malentendido puede ser el resultado de un curso de estudio en particular que no enfatiza la definición del límite de la derivada.