(Observaciones, de una "verdadera" respuesta): El primer teorema es una clase de precisión de generalización del Teorema de Cauchy ( que no es un elemento de primer orden $p$ en el grupo finito $G$ al $|G|$ es divisible por $p$). El teorema de Frobenius implica del teorema de Cauchy, y por lo tanto, del teorema de Sylow. Sin embargo, uno tiene que tener cuidado para evitar la circularidad. La mayoría de las publicaciones de las pruebas del teorema de Frobenius de la que soy consciente de asumir Cauchy teorema de, al menos implícitamente, pero esto se puede evitar con cuidado. Para ser precisos, un contraejemplo para el teorema de Frobenius con la primera $|G|$,, a continuación, $n$ mínimo, reduciría el caso de que $n$ es el primer y $|Z(G)|$ es divisible por $n$. Por lo tanto, un unificada de la prueba del teorema de Frobenius y del teorema de Cauchy se puede dar. También un unificada de la prueba de Cauchy es y teorema de Sylow del teorema se puede dar. Por lo tanto el teorema de Frobenius, del teorema de Cauchy y del teorema de Sylow, todo puede ser visto como parte de un mismo círculo de ideas. El hecho de que si hay sólo $n$ soluciones (y $n$ divide $|G|$), entonces se forma un subgrupo tiene un satisfactorio anillo a ella, y es una pregunta natural. Sin embargo, yo no conozco a ningún aplicaciones inmediatas de este hecho a mí mismo.
MUCHO más tarde edit: debo añadir que, si fuera posible demostrar esta conjetura de Frobenius ( que si hay sólo $n$ soluciones para $n$ es un divisor del orden de $G,$, a continuación, que forman un subgrupo), y se puede hacer sin el uso de caracteres, entonces se daría un carácter libre de la prueba de la otra famoso teorema de Frobenius ( que si cada elemento de identidad de un finito transitiva permutación grupo de correcciones en más de un punto, a continuación, los elementos que no arregle un único punto de formar un subgrupo). Aún no hay completamente el carácter libre de la prueba de que el teorema de, a pesar de que Terry Tao tiene una prueba de que en esencia se reduce a una pregunta acerca de los personajes de finito Abelian grupos.
La razón por la que la conjetura implica la (conocida) teorema es que si $G$ es la permutación de grupo, y $H$ es un punto de estabilizador, a continuación, $ H \cap H^{g} = 1$ para todos los $g \in G \backslash H$. Por lo tanto, hay $[G:H](|H|-1)$ la no-identidad de los elementos que fijan un único punto, y $[G:H]$ elementos que no arregle un único punto. Set $n = [G:H].$ Entonces $n$ es relativamente primer a $|H|$ desde $[G:H] \equiv 1$ (mod $|H|$), ya que, por ejemplo, el doble coset $HgH$ contiene $|H|^{2}$ elementos para $g \in G \backslash H.$ Ya que cada elemento que fija un único punto en un conjugado de $H,$ no dicho elemento tiene orden dividiendo $n,$ e $G$ contiene exactamente $n$ soluciones de $x^{n} = 1.$
Más tarde edito: En vista de las respuestas por K. Conrad y J. Moller, voy a esbozar una prueba de que en el caso particular de la $n= |G|_{p}$ para un primer $p,$ Frobenius del teorema admite una forma bastante directa inductivo de la prueba. Esta prueba se relaciona con, pero ligeramente diferente, la prueba que aparece en el AMM papel que Marty Isaacs y me escribió - la prueba elude la necesidad de asumir de Cauchy Teorema, aunque en algunos aspectos es más sofisticado : procedemos por inducción sobre $|G|,$ y estamos tratando de demostrar que el número de $p$-elementos de $G$ (incluyendo la identidad como un $p$-elemento) es divisible por $|G|_{p}.$ Supongamos en primer lugar que hay un elemento $y \neq 1$ de primer orden a $p$ con $y \in Z(G).$, Se nota que hay un bijection entre el $p$-elementos de $G$ e $p$-elementos de $G/Y$ donde $Y = \langle y \rangle.$ Claramente, la imagen de una $p$-elemento de $G$ en $G/Y$ es todavía un $p$-elemento. Por otro lado, dado cualquier $x \in G$ tal que $xY$ es $p$-elemento en $G/Y,$ vemos que $xy^{j}$ es $p$-elemento para un cierto valor de $j$ con $0 \leq j < |Y|.$ Este valor de $j$ es único, ya que de lo contrario $y^{k}$ es $p$-elemento para algunos $k$ con $0 < k < |Y|,$ que no es el caso. Dado que sólo estamos interesados en el coset $xY,$ bien podríamos suponer que $x$ sí es una $p$-elemento. Lo que realmente hemos demostrado que, dado un coset $xY$ en $G/Y$ que es un porcentaje ($p$- elemento, no hay una única coset representante que es un $p$-elemento. Por inducción, el número de $p$-elementos de $G/Y$ es un múltiplo de $[G:Y]_{p} = |G|_{p}.$ por lo tanto podemos suponer que no existe ninguna central de la no-identidad elemento $y$ de primer orden a $p.$
Ahora, dado cualquier elemento $x \in G$ que no es un $p$-elemento, podemos (exclusivamente) escribir $x = yz = zy$ donde $y \neq 1$ es un elemento de primer orden a $p$ e $z$ es $p$-elemento de $C_{G}(y).$ Para cualquier elemento $y$ de primer orden a $p,$ el número de opciones de de $z$ es el número de $p$-elementos de $C_{G}(y)$, lo que, por inducción es divisible por $|C_{G}(y)|_{p}$ as $y \not \in Z(G).$ Si se tiene en cuenta la contribución de la clase conjugacy de $y,$ obtenemos un múltiplo de $[G:C_{G}(y)]|C_{G}(y)|_{p},$ así que, sin duda un múltiplo de $|G|_{p}.$ Haciendo esto para cada clase conjugacy de la no-identidad de los elementos de primer orden a $p,$ vemos que el número de elementos de $G$ que NO $p$-elementos es divisible por $|G|_{p}.$ Desde $|G|$ es, sin duda divisible por $|G|_{p},$ vemos que el número de $p$-elementos de $G$ es un múltiplo entero de $|G|_{p}.$
