¿Cuál es la condición de Serre (S_n) para las poleas?

Question

La Serre la condición de $(S_n)$, sobre todo a $(S_2)$, que ha sido mencionado en un par de MO respuestas: ver aquí y aquí por ejemplo. Estoy bastante seguro de que lo he visto en otras preguntas, pero no podía recordar exactamente.

Siempre he sido confundidos por esta condición, especialmente para una gavilla $F$ en un local Noetherian esquema de $X$, principalmente porque hasta donde yo sé, existen al menos tres diferentes definiciones en la literatura. Veámoslos, $F$ se dice que satisface la condición de $(S_n)$ si:

$$ depth_x (F_x) \ge \min (\text{dim} \mathcal O_{X,x},n) \ \forall x\in X \ (1) $$

$$ depth_x (F_x) \ge \min (\dim F_x,n) \ \forall x\in X \ (2) $$

$$ depth_x (F_x) \ge \min (\dim F_x,n) \ \forall x\in \text{Supp}(F) \ (3) $$

La definición (1) puede encontrarse en Evans-Grifffith libro "Syzygies", la definición (2) está dada en EGA IV (definición 5.7.2) o Bruns-Herzog libro "Cohen-Macaulay módulos". La definición (3) es lo que VA utilizar en su respuesta a la segunda pregunta citado anteriormente (y yo ciertamente he visto en papeles o libros, pero no puede encontrar uno, así que las referencias sería muy apreciada).

Al $F$ es la estructura de la gavilla o un vector paquete (de constante positiva rango), entonces todos están de acuerdo. Sin embargo, pueden diferir cuando se $E$ es una gavilla. Por ejemplo, (1) nos permite decir que si $X$ es normal, a continuación, $E$ es reflexiva si y sólo si es $(S_2)$. Pero de acuerdo a (2) o (3), si $X=Spec(R)$ para $(R,m)$ local, a continuación, $k=R/m$ podría satisfacer $(S_n)$ para todos los $n$. (2) y (3) son equivalentes si asumimos que la profundidad de la $0$ módulo es infinito, pero he visto en papeles que no utilizan el convenio, añadiendo a la confusión.

Desde un resultado seguramente depende de la definición que hemos utilizado (yo, sin duda, han cometido errores a causa de esta confusión, y creo que no soy yo solo), me gustaría preguntar:

Pregunta: existe un acuerdo sobre qué es exactamente la condición de $(S_n)$ de las poleas? Si no, ¿cuáles son las ventajas y desventajas de cada una de las distintas definición?

Algunas referencias precisas:

Bruns-Herzog "de Cohen-Macaulay módulos" : después de que el Teorema de 2.1.15, versión (2)

Evans-Griffith "Syzygies": la parte B del Capítulo 0, versión (1)

Kollar-Mori "Birational geometría de variedades algebraicas": definición 5.2, la versión (1)

EGA, en el Capítulo 4, la definición 5.7.2, versión (2).

Answer 1

Me gustaría añadir una observación más a los comentarios de otros. No dejes que me preocupe (2) vs (3) ya que la diferencia es sólo sobre el cero del módulo así que esto es más una cuestión filosófica de un matemático.

Me gustaría señalar que no es muy útil en la caracterización de la profundidad y la dimensión de un módulo, es decir, Grothendieck la fuga teorema que dice que en cualquier $x\in X$, el local cohomology de $M$ se desvanece para $i$ inferior a la profundidad o mayor que la dimensión del módulo y no se desvanecen para $i$ igual a la profundidad o la dimensión.

En mi opinión sugieren que se debe utilizar la dimensión del módulo en la definición, es decir, el uso (2).

Otro argumento para apoyar el uso de (2) es que nos gusta decir que la CM es equivalente a "$S_n$ para todos los $n$". Ahora si se utiliza la definición (1), a continuación, sólo módulos compatibles en toda la $X$ tienen ni siquiera la oportunidad de ser CM, pero no veo la manera de ganar suponiendo que. Más específicamente, un módulo que nunca podría satisfacer $S_n$ cualquier $n$ que es mayor que la dimensión del módulo, pero no mayor que $\dim X$.

Tipo de a lo largo de las mismas líneas, vamos a $A\to B$ ser un surjective de morfismos de anillos (conmutativo con identidad) y $M$ a $B$-módulo. I. e., $\operatorname{Spec}B$ es un subconjunto cerrado de $\operatorname{Spec}A$. Ahora, tanto por $\operatorname{depth}M$ e $\operatorname{supp}M$ son independientes del hecho de si uno ve $M$ como $B$-módulo o un $A$-módulo. Es razonable que, además, si es $S_n$ sería también independiente.

La principal diferencia entre (1) y (2) es si uno quiere comparar con el apoyo del módulo (es decir, la vista sobre el anillo/annihilator) o de todo el anillo. Para mí, el ex parece más natural. De esta manera una gavilla/módulo que es $S_n$ en un subscheme permanece $S_n$ cuando se ven en un ambiente esquema. La definición (1) parece preferir a comparar con el anillo fijo. Una forma en que algunas personas tratan de reducir la brecha entre las dos definiciones, es decir, "$M$ es $S_n$ más de su apoyo", lo que significa que uno debe mod por annihilator primera antes de aplicar (de la) definición(es). A continuación, las dos definiciones son equivalentes. Como para (3), algunas personas van de la mano para decir "un no-cero módulo es $S_n$ si..."