Fundas universales Perfectoid

Question

Se suele decir, con mayor o menor rigor, que todo espacio rígido (digamos sobre $\mathbb{C}_p$ ) tiene una cubierta pro-etálica que es "topológicamente trivial" en algún sentido. Por ejemplo, esto se insinúa (aunque nunca se dice directamente) en la sección 5.7 de la obra de Jared Weinstein Leyes de reciprocidad y representaciones de Galois: avances recientes ( pdf ).

Me preguntaba si alguien podría responder a las siguientes preguntas que, aunque quizás sean ingenuas, son de gran interés para mí.

Si son demasiadas preguntas puedo dividirlas en varios posts.

1) Que $X$ sea el "disco unitario cerrado perfeccionado" dado por $\text{Spa}(\mathbb{C}_p\langle T^{\frac{1}{p^\infty}}\rangle,\mathcal{O}_{\mathbb{C}_p}\langle T^{\frac{1}{p^\infty}}\rangle)$ . ¿Es cierto que $X-\{0\}$ está "simplemente conectado" en el sentido de que $\pi_1^{\acute{e}\text{t}}(X-\{0\})=0$ ? Se podría imaginar que se trata de algo así como una cubierta universal pro-etálica del habitual disco cerrado de la unidad perforada sobre $\mathbb{C}_p$ ya que es al menos $\sim$ (en el lenguaje de Scholze) a un límite inverso de las cubiertas etale finitas $x\mapsto x^{p^n}$ del disco cerrado perforado sobre $\mathbb{C}_p$ . Sospecho que no, ya que existen fundas del disco (como las de Artin-Schreier). Entonces, ¿existe una "cubierta universal" en este caso?

EDIT: Como se menciona más abajo, me he precipitado y debería haber dicho algo así como "el máximo $p$ -cociente de $\pi_1^{\acute{e}\text{t}}$ es cero.

2) Si $X$ es cualquier espacio rígido sobre $K$ (a $p$ -campo de la adicción, o tal vez $\widehat{\overline{K}}$ para un $p$ -campo de los ádicos), ¿existe entonces una "cubierta universal" de $X$ . La definición precisa de esto está abierta para mí - hay una noción particularmente buena, y si es así, cuando existe. Por ejemplo, si existe una cubierta pro-etálica $\{U_i\}$ de $X$ y un espacio adicto $\widetilde{X}$ tal que $\widetilde{X}\sim \varprojlim U_i$ y $\widetilde{X}$ es "simplemente conectado" (es decir, que $\pi_1^{\acute{e}{t}}(\widetilde{X})=0$ o, quizás incluso mejor, $\pi_1^{\text{pro}\acute{e}\text{t}}(\widetilde{X})=0$ ).

EDIT: Como se menciona más abajo, me he precipitado y debería haber dicho algo así como "el máximo $p$ -cociente de $\pi_1^{\acute{e}\text{t}}$ es cero y de forma similar para el grupo fundamental proetálico.

3) Tengo la sensación de que los espacios perfectoides tienen una "geometría más simple" (por ejemplo, creo que esto se puede ver por la casi zonificación de su cohomología con valores en $\mathcal{O}_X^+$ y cómo esto se relaciona con su cohomología con valores en $\mathbb{F}_p$ por la secuencia AS), pero no conozco una declaración precisa de esto. A saber, ¿cómo es que la topología etale de un espacio perfectoide es más simple que, por ejemplo, una variedad rígida general?

4) A veces se dice que se puede utilizar la geometría de los perfectoides para intentar calcular cosas como la cohomología etale de alguna variedad rígida calculando la cohomología de Cech de alguna cubierta pro-etale de los perfectoides. ¿Cuál es el enunciado preciso de esto? Creo que se puede calcular la cohomología de $\mathcal{O}_X^+$ casi (en el sentido técnico) de una cubierta pro-etálica perfecta. ¿Se trata entonces de calcular la cohomología con coeficientes en $\mathbb{F}_p$ ¿casi usando la secuencia AS de nuevo?

Cualquier respuesta a cualquiera de estas preguntas será muy apreciada, así como cualquier otra idea que alguien quiera añadir.

Gracias.

EDIT: Supongo que debería añadir que probablemente no se esperen coberturas universales en términos de "trivialidad topológica pura" (o, más bien, trivialidad topológica pura en la medida en que $\pi_1$ u otra "topología unidimensional") sino en el tipo de trivialidad topológica (de nuevo en grado $1$ ) que se ocupa de $p$ -torsión o pro- $p$ -coeficientes de torsión.

Por lo tanto, como menciona Will Sawin más adelante, es probable que todavía se puedan hacer coberturas con $p$ grado de la "cobertura universal".

En resumen, tal vez ' $p$ -la cobertura universal' es mejor...

Answer 1

Lol @"diversos grados de entusiasmo" ;-). Y perdón por la respuesta tardía...

Permítame tratar de responder a sus preguntas. En primer lugar, para cualquier espacio analítico adicto conectado $X$ , digamos, con un punto geométrico $\overline{x}\to X$ se puede definir $\pi_1^{\mathrm{et}}(X,\overline{x})$ al igual que en SGA1 para los esquemas, observando la categoría de Galois de las cubiertas etale finitas de $X$ . En particular, pasando a un límite inverso de todas las coberturas etale finitas equipadas con una elevación de $\overline{x}$ se puede definir una "cubierta universal" (profinita) $\tilde{X}\to X$ . Si $X$ vive más $\mathbb Z_p$ y es afín (probablemente Stein es suficiente) entonces $\tilde{X}$ es perfectoide; véase, por ejemplo, el lema 15.3 aquí (la expresión graciosa se debe únicamente al deseo de tratar también el caso de que $X$ no está conectado).

Esto responde en gran medida a la pregunta 2). Por desgracia, no sé cómo definir un grupo fundamental pro-etálico en el espíritu de mi trabajo con Bhatt. Allí tratamos el caso de esquemas que localmente sólo tienen un número finito de componentes irreducibles. Esta es una condición muy suave para los esquemas, pero para los espacios analíticos adic, la condición es demasiado fuerte, véase el ejemplo 7.3.12 de nuestro papel . Este ejemplo muestra que el formalismo no funciona de la misma manera para los espacios adictos analíticos, y no sé cómo corregirlo. Así que sólo utilizaré el habitual $\pi_1^{\mathrm{et}}$ .

Para la pregunta 1), la respuesta es en realidad No. Utilizando las coberturas de Artin-Schreier, hay montones y montones de coberturas etale finitas más allá de las que uno podría pensar, por lo que, en particular, el disco unitario cerrado de los perfectoides tiene una gran $\pi_1^{\mathrm{et}}$ (incluso (o especialmente) pro- $p$ ). Lo que uno podría esperar razonablemente es que cualquier cubierta etale finita de grado $p$ del disco unitario cerrado del perfectoide perforado se extiende a una cubierta etale finita del disco unitario cerrado del perfectoide. Para esta pregunta precisa, estoy realmente confundido: Si la cubierta etale finita viene de alguna etapa finita, se deduce de algunos resultados clásicos en geometría rígida que se extiende a una cubierta finita, posiblemente ramificada, sobre la puntura, y entonces por el lema de Abhyankar esto se vuelve trivial después de pasar a la cubierta del perfectoide. Sin embargo, creo que en el nivel infinito, uno obtendrá nuevas coberturas más desagradables, que no provienen del nivel finito.

Sobre la pregunta 3): Un hecho clave es que los espacios perfectos afines tienen etale $p$ -dimensión cohomológica $\leq 1$ es decir, para etale $p$ -tornadas de torsión, la cohomología etale se encuentra en grados $\leq 1$ . De hecho, esto se reduce por inclinación al caso de la característica $p$ donde se deduce de la teoría de Artin-Schreier. Combinando esto con algunos ejemplos interesantes de torres de perfectoides, se pueden obtener interesantes resultados de fuga. De hecho, éstos pueden mejorarse ligeramente utilizando $\mathcal O_X^+$ -la cohomología, el teorema de la comparación primitiva y la (casi) desaparición de $\mathcal O_X^+$ -cohomología en perfectoides afines. Esto se ha aplicado, por ejemplo, a Variedades de Shimura , variedades abelianas [Bueno, la versión escrita de ese documento en realidad no utiliza este método, pero nuestro enfoque original sí lo utilizó, véase la discusión en la página 1], y espacios de moduli de las curvas .

Esto está relacionado con la pregunta 4). Lo que se suele hacer es lo siguiente. Decir $\ldots\to X_2\to X_1\to X_0$ es alguna torre de variedades propias rígido-analíticas sobre $\mathbb C_p$ con límite perfectoide $X_\infty$ . Para cada $X_n$ el teorema de la comparación primitiva dice que $$H^i(X_n,\mathbb F_p)\otimes \mathcal O_{\mathbb C_p}/p\to H^i(X_n,\mathcal O_{X_n}^+/p)$$ es un casi isomorfismo, donde ambos lados son cohomología etale. (La prueba de esto utiliza algo de teoría de Artin-Schreier, y también se podría formular una secuencia de Artin-Schreier, pero esto tiende a dar resultados más débiles). Pasando al colímite sobre $n$ (por lo que el límite de los espacios), se ve que también $$H^i(X_\infty,\mathbb F_p)\otimes \mathcal O_{\mathbb C_p}/p\to H^i(X_\infty,\mathcal O_{X_\infty}^+/p)$$ es un isomorfismo. Ahora en el perfectoide $X_\infty$ el grupo de la derecha se comporta como una cohomología coherente, en particular puede (casi) calcularse por el lado analítico, y de hecho por un complejo de Cech. Esto muestra en particular que (casi) desaparece en grados mayores que $\dim X_\infty$ . En particular, $H^i(X_\infty,\mathbb F_p)$ desaparece en grados mayores que $\dim X_\infty$ que da los teoremas de fuga que he mencionado.

Answer 2

Esto es demasiado largo para un comentario, y no responderá completamente a sus preguntas. Invito a cualquiera que sepa más que yo sobre espacios perfectoides a que edite esto para aclarar o corregir cualquier cosa. No soy en ningún sentido un experto en espacios perfectoides.

Primero tenemos que fijar lo que entendemos por $\pi_1$ . En general si tengo alguna noción de geometría y buenos morfismos(por ejemplo, étale, étalé, smooth, pro-étale, fppf...) puedo hacer dos cosas.

1. Puedo tomar la categoría de coberturas buenas, elegir un punto y llevar el functor de fibra a conjuntos y hacer la danza de Grothendieck para definir un progrupo.

2. Puedo tomar la topología de Grothendieck generada por estos, y considerar la categoría de gavillas de grupos localmente constantes para la topología, tomar un functor de fibra (un punto del topos), y hacer el baile de Grothendieck para definir un progrupo.

Una forma de interpretar los resultados de representabilidad para gavillas localmente constantes / espacios homogéneos principales teóricos de gavillas es que comparan las dos estrategias.

Como ejemplos,

1. El grupo fundamental de SGA1 utiliza la estrategia (1) para los esquemas y las coberturas étale.
2. El grupo fundamental de SGA3 utiliza la estrategia (2) para los esquemas y los espacios homogéneos principales étale.

Existe un resultado general de representabilidad para el principal $G$ -espacios cuando $G$ es un grupo finito, lo que nos dice que los dos coinciden tras la terminación profinita (equivalentemente, tienen categorías equivalentes de cocientes finitos). Un resultado más fuerte compara los dos para esquemas noetherianos y geométricamente unibranquiales.

3. El grupo fundamental pro-estético (en el artículo de Bhatt-Scholze) es una versión mejorada de (2). Su categoría es esquemas y su topología es la topología pro-estética, pero no sólo consideran gavillas l.c. de grupos, sino gavillas l.c. de grupos topológicos, también han modificado el "baile de Grothendieck" con un par de meneos, giros y manos de jazz más.

Ninguno de los ejemplos anteriores se aplica directamente a los espacios perfectoides, y no soy ni mucho menos un experto en ellos. Sin embargo, creo que debería darte una idea más clara de cómo formular exactamente tu pregunta.

Ahora a sus preguntas.

¿Es cierto que $X\setminus\{0\}$ está "simplemente conectado" en el sentido de que $\pi_1^{\acute{e}t}(X\setminus\{0\})=0$ [después de tomar el máximo pro- $p$ cocientes]?

No puede ser pro- $p$ -simplemente conectados por las coberturas de Artin-Schreier. Creo que un recubrimiento étale finito de $\operatorname{spec} A$ se analizan en un recubrimiento etéreo finito de $\operatorname{sp} A$ ya que la condición de étale casi finito de la definición 7.2 parece ser un corolario del teorema 1.10 (ambos en el artículo de Scholze sobre los espacios perfectoides). Esto significa que el máximo pro- $p$ cociente seguirá viendo las coberturas de Artin-Schreier.

Si $X$ es cualquier espacio rígido sobre $K$ (a $p$ -campo de la adicción, o tal vez $\hat{\overline{K}}$ para un campo p-ádico) entonces ¿existe una "cubierta universal" de $X$ .

Vamos a limitarnos al caso de los afines para simplificar. Parece que hay algún espacio de cobertura pro-estético, pero no está claro en qué categoría vive la cosa. Los espacios rígidos tienen alguna cantidad de condiciones de tipo finito incorporadas, por lo que tomar un límite sobre mapas étale finitos podría no ser un espacio rígido. Lo bueno del formalismo de Huber sobre los espacios adic es que es mucho más flexible, así que se puede tomar el límite de los espacios adic y/o el colímite del espacio subyacente. $f$ -anillos de la adicción. Pero el colímite de $f$ -Los anillos de los enfermos no tienen por qué ser $f$ -adic por lo que tendrás que trabajar un poco para averiguar si las preformas de la estructura siguen siendo gavillas. Por lo que sé, podría ser un corolario directo del artículo de Buzzard-Verberkmoes.

¿cómo es que la topología etale de un espacio perfectoide es más simple que, por ejemplo, una variedad rígida general?

No sé si es más sencillo, pero lo más importante es que has matado a Frobenius en un sentido adecuado, lo que significa que puedes pasar fácilmente entre la característica $0$ y característica $p$ . Echando la más perezosa de las miradas a la prueba de Scholze (¡que no pretendo entender!), parece que su prueba de la acíclica de $\mathscr{O}_X^+$ sobre los afinoides pasa por reducir primero al caso de la característica pura $p$ , reconociendo entonces la gavilla $\mathscr{O}_X^+$ como la finalización de una colimación filtrada de cosas que son de tipo finito en un sentido adecuado. El caso de las cosas de tipo finito es un enunciado "clásico" de la geometría rígida. La cohomología conmuta con los colimits filtrados, yadda yadda yadda, y se obtiene el resultado.

No tengo una respuesta para (4), pero también estoy interesado en leer una.