¿Qué es geométricamente la clase Pontryagin?

Question

¿Qué hace el Pontryagin clase detecta o es una obstrucción a? Por favor evite cualquier respuesta de usar que incluso la clase de Chern de la complexified o paquete de cualquier interpretación que se basa en la complexified paquete.

Como relacionados con la pregunta podría ser la siguiente: cuando uno define la obstrucción de las clases en un rango de $4$ vector paquete (y si los tres primeros obstrucción de las clases desaparecen), a continuación, la cuarta obstrucción de la clase puede ser descompuesto como el de Euler de la clase y la primera Pontryagin clase (como $\pi_3(SO_4) \simeq \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}$). Hay una descripción geométrica de un sistema de generadores en $\pi_3(SO_4)$, lo que se asocia a estas clases?

EDIT: eliminado "Por ejemplo, ¿por qué el primer Pontryagin clase que distingue a la (tangente paquetes) de los exóticos $4$-esferas?" como que está mal, a ver Liviu la respuesta a continuación.

Answer 1

Pontryagin la definición original de sus clases era una obstrucción en el ciclo de la siguiente manera:

En el $n$ dimensiones del colector $M$ de $(n-2i) +2$ campos vectoriales en posición general, y considerar los puntos de $x$ donde abarcan un subespacio (en $T_xM$) de dimensión menor o igual a $n-2i$. El conjunto de puntos de $x$ formar un ciclo de codimenion $4i$ en $M.$ El doble cohomology de clase es $p_i(M).$

Esta definición puede diferir de la de hoy una definición aceptada a través de las clases de Chern (como en el libro de Milnor-Stasheff) por un segundo orden de la clase.

Answer 2

Algunas fracciones de Pontrjagin clases son los obstáculos a una mayor análogos de orientaciones/girar las estructuras.

Por ejemplo, un giro del vector paquete de $E \longrightarrow X$ admite una estructura de la cadena si $\frac{1}{2}p_1(E) = 0$. En otras palabras, un spin estructura en $E$ determina una clase de $\lambda = \frac{1}{2} p_1(E) \in H^4(X; \mathbb{Z})$ tal que $2\lambda = p_1(E)$, y este fraccional primera Pontrjagin clase $\lambda$ es la obstrucción a la existencia de una estructura de la cadena en $E$.

Del mismo modo, si nos vamos a la siguiente trivial paso en la Whitehead de la torre, podemos tratar de definir un llamado fivebrane estructura en una cadena de vectores paquete de $E \longrightarrow X$. En este caso, la obstrucción a la cadena vector paquete de $E \longrightarrow X$ admitiendo una fivebrane estructura es la de la fracción de segundo Pontrjagin clase $\frac{1}{6}p_2(E)$.

Answer 3

No creo que el $p_1$ distingue la tangente paquetes de exóticos $4$-esferas (si los hubiere). En una orientada liso $4$-colector $M$ Hirzebruch firma fórmula estados que

$${\rm sign}(M)=\frac{1}{3}\int_M p_1(TM).$$

La firma de cualquiera de homología $4$-esfera es cero ya que no hay homología en la $4$-ésima dimensión.

1. Hay una manera estúpida en la que $p_1$ describe una obstrucción, debido a $p_1$ es el $2$-nd clase de Chern de la complejización, y las clases de Chern han obstrucción de la teoría de las descripciones.

2. La primera Pontryagin clase de una $4$-colector $M$ aparece en un buen integral fórmula de MacPherson y que involucra a las singularidades de los mapas de $M\to \mathbb{R}^4$. (No recuerdo la referencia en este momento.)

Answer 4

Hay un papel por Pablo Bressler:

La primera clase de Pontryagin

http://arxiv.org/abs/math/0509563

Según él:

Damos una obstrucción natural teórico de la interpretación a la primera Pontryagin clase en términos de Courant algebroids. ........

Por lo tanto, (A,h , i) admite un (a nivel mundial definido) Courant extensión si y sólo si el Pontryagin clase de (a,h , i) se desvanece.

Más generalmente, el primer Pontryagin clase con valores como la anterior, puede ser asociado a un transitiva Mentira algebroid (véase A. 1), por ejemplo, Un, junto con un invariante simétrica de emparejamiento h , que en el núcleo de el ancla mapa y será denotado Π(A,h , i). 1 El Pontryagin clase de un paquete principal se define como la clase de Pontryagin el Atiyah álgebra de la agrupación.

Answer 5

Vale la pena mencionar por separado, creo: en "Una combinatoria fórmula para el Pontrjagin clases", Gelfand y MacPherson construir algo como análogos de Segre clases de Pontryagin clases: por una triangulación de un colector $X$ invocan orientado matroids para producir explícita racional simplicial ciclos en su subdivisión baricéntrica que se Poincaré duales de la recíproca $\bar p_i(X)$ de la Pontryagin clases de $X$.

También describen (en la mitad de una página!) una versión de la Chern-Weil teoría de Pontryagin clases de un vector paquete de $E$ con conexión en un colector $M$, lo que muestra la relación entre su enfoque y el "standard". Es tan conciso y esclarecedor que decidí sólo a reproducir aquí. Ellos consideran que el Grassmanian bundle $\pi:\mathscr Y\to M$ de codimension 2 aviones en $E$, junto con el director bundle $\rho:\mathscr Z\to\mathscr Y$ correspondiente a la tautológica cociente 2-plano de paquete de más de $\mathscr Y$. La conexión en $E$ les da una 1-forma $\Theta$ a $\mathscr Z$ con coeficientes en la orientación de la gavilla de $\mathscr Z$ y una curvatura en forma de $\Omega$ a $\mathscr Y$ determinado por $\rho^*\Omega=d\Theta$. Su fórmula, a continuación, se $$\bar p_i(E)=(-1)^i\pi_*\Omega^{\dim(E)-2(i-1)}.$$