En un espacio topológico si existe un bucle que no se puede contraer hasta un punto, ¿existe un bucle simple que no se puede contraer también?

Question

Me interesa saber si sólo hay que considerar los bucles simples cuando se prueban los resultados sobre los espacios simplemente conectados.

Si es cierto que:

En un espacio topológico, si existe un bucle que no puede ser contraído hasta un punto, entonces existe un bucle simple que tampoco puede ser contraído hasta un punto.

entonces podemos reemplazar un bucle por un simple bucle en la definición de simplemente conectado.

Si este teorema no es cierto para todos los espacios, entonces quizás sea cierto para los espacios Hausdorff o los espacios métricos o un subconjunto de $ \mathbb {R}^n$ ?

He pensado en el caso más simple y no trivial que creo que sería un subconjunto de $ \mathbb {R}^2$ .

En este caso tengo una forma bastante elemental de abordar esto que consiste en ver que se puede contraer un bucle encogiendo sus simples bucles.

Toma cualquier bucle, un mapa continuo, $f$ desde $[0,1]$ . Da la vuelta al bucle desde 0 hasta que encuentres una auto-intersección en $x \in (0,1]$ digamos, con el arco de bucle anterior, $f([0,x])$ en un punto $f(y)$ donde $0<y<x$ . Luego $L=f([y,x])$ es un simple bucle. Contrato $L$ hasta un punto y luego aplicar el mismo proceso a $(x,1]$ iterando hasta que alcancemos $f(1)$ . En cada etapa contratamos un simple bucle. Eventualmente, después de un número infinito de contracciones hemos contraído el bucle entero. Podemos construir una homotopía única a partir de estas homotopías haciendo mapas en $[1/2^i,1/2^{i+1}]$ consecutivamente, lo que permite encajarlas todas en el intervalo de la unidad.

Así que si no puedes contraer un bucle no simple hasta un punto, pero puedes contraer cualquier bucle simple, tenemos una contradicción que creo que prueba mi afirmación.

No estoy seguro de si este mismo argumento se aplicó a espacios más generales o si de hecho es correcto en absoluto. Me doy cuenta de que los bucles no simples pueden ser fenomenalmente complejos con una estructura fractal muy poco lisa, pero no veo una razón obvia por la que no se pueda hacer lo que propongo arriba.

Actualización: Acabo de añadir otra pregunta relacionada con esto acerca de la clasificación de los espacios donde esto podría contener - ¿En qué espacios topológicos la existencia de un bucle no contraíble hasta un punto implica que también hay un bucle simple no contraíble?

Answer 1

He aquí un ejemplo de espacio topológico $X$ que se puede incrustar en el subespacio compacto de $ \mathbf {R}^3$ que no está simplemente conectado, sino que cada simple bucle es homotópico a un bucle constante.

A saber, empieza por el pendiente hawaiano $H$ con su punto singular $w$ . Deje que $C$ ser el cono sobre $H$ a saber $C=H \times [0,1]/H \times\ {0\}$ . Deje que $w$ ser la imagen de $(w,1)$ en $C$ . Por último, $X$ es el ramo de dos copias de $(C,w)$ Este es un espacio compacto conectado a la ruta, conectado localmente a la ruta, incrustado en $ \mathbf {R}^3$ .

Es clásico que $X$ no está simplemente conectado: este es un ejemplo de fracaso de una versión demasiado ingenua del teorema de van Kampen.

Sin embargo, cada simple bucle en $X$ es homotópico a un bucle constante. De hecho, desde el punto de unión $w \in X$ separa $X \smallsetminus\ {w\}$ en dos componentes, tal bucle no puede pasar a través de $w$ y por lo tanto está incluido en uno de estos dos componentes, por lo tanto una de las dos copias del cono $C$ en el cual puede ser claramente homotoped a la punta afilada del cono.

Answer 2

Cada complejo simplificado finito es débilmente homotópico equivalente a un espacio finito. Por lo tanto, hay espacios finitos con bucles no triviales; y estos obviamente no están incrustados.

Answer 3

Esta pregunta surgió cuando estaba tomando un curso de topología en un siglo pasado. Como tarea construí un ejemplo de un subespacio $X$ de $ \mathbb R^3$ que no está simplemente conectada aunque cada simple curva cerrada en $X$ es homotópico hasta cierto punto. Era algo como esto:

Tome una secuencia infinita de círculos en el $xy$ -plano, cada círculo externamente tangente al siguiente, con los centros de los círculos acostados en línea recta y convergiendo al origen. Para concretar, podemos suponer que el $n^ \text {th}$ El círculo es un círculo de radio $ \frac1 {2^n}$ centrado en $ \left ( \frac3 {2^n},0 \right )$ . Haga cada uno de esos círculos la base de un cono circular derecho de altura $1$ . Por último, que $X$ sea el cierre de la unión de esa secuencia de conos. Cada simple curva cerrada en $X$ puede reducirse hasta un punto en $X$ ya que se encuentra en un cono; pero una curva cerrada que rodea las bases de todos los conos no se puede reducir a un punto en $X$ .

Del mismo curso que yo Vagamente recuerdan una proposición en el sentido de que, si $X$ es "localmente simplemente conectado en lo grande" (lo que significa que cada punto tiene un vecindario $U$ de tal manera que cada curva cerrada en $U$ es homotópico hasta un punto en $X$ ), y si cada simple curva cerrada en $X$ es homotópico hasta cierto punto, entonces $X$ está simplemente conectada. No recuerdo si había otras condiciones en $X$ (como el "espacio Hausdorff" o el "espacio métrico"), y ciertamente no recuerdo nada sobre la prueba, excepto que no pudo haber sido nada profundo.