¿Qué es la matemática detrás del juego Irregular?

Question

Acabo de comprar el juego Spot. Según este sitio, la estructura del juego es la siguiente:

El juego tiene 55 de la ronda juego de cartas. Cada tarjeta tiene ocho colocados al azar símbolos. Hay un total de 50 diferentes símbolos a través de la cubierta. La más fascinante característica de este juego es cualquiera de las dos tarjetas seleccionado será siempre uno (y sólo UNO) de símbolos idénticos que se encuentran en ambas tarjetas.

Hay una fórmula que puede utilizar para crear un derivado de este juego con diferentes números de símbolos que aparece en cada tarjeta.

Partiendo de las siguientes variables:

• S = número total de símbolos
• C = número total de tarjetas
• N = número de símbolos por tarjeta

Se puede demostrar matemáticamente el número mínimo de tarjetas (C) y símbolos (S) que necesita según el número de símbolos por tarjeta (N)?

Answer 1

El célebre Ray-Chaudhuri–Wilson teorema establece que $C \leq$ S (contradiciendo sus números).

Una casi coincidencia de la construcción es como sigue. Recoger algunos de los números primos $n$. Nuestro universo, de tamaño $n^2+n+1$, consta de pares de números en $\{0,\ldots,n-1\}$ y $n+1$ singleton $\{0,1,\ldots,n-1,\infty\}$ ("puntos en el infinito"). Por cada $0 \leq \leq n-1$ y $0 \leq b \leq n-1$ vamos a tener una tarjeta de tamaño $n+1$ que contiene los pares $\{(x,ax+b \mod{n})\}$ y el singleton $a$. También hay $$ n de tarjetas especiales, por cada $0 \leq c \leq n-1$, que contiene los pares $\{(c,x)\}$ y el singleton $\infty$. Un super especial de la tarjeta contiene la totalidad de los $n+1$ únicos.

Claramente dos tarjetas con el mismo $a$ se cruzan sólo en el singleton. Dos cartas con diferentes $una$s se cruzan en la única solución a $a_1x+b_1 = a_2x+b_2 \pmod{n}$. Dos cartas especiales se cruzan sólo en el singleton, y una normal y una tarjeta especial se cruzan en $(c,ac+b)$. Finalmente, el super especial de la tarjeta se cruza con el resto en un singleton.

En total, se tienen $n^2+n+1$ y tarjetas de símbolos, cada tarjeta con $n+1$ símbolos, y dos cartas que se cruzan en exactamente un símbolo. En su caso $n=7$ y por tanto el número de tarjetas y los símbolos deben ser $7^2+7+1 = 57$.

Answer 2

He aquí un artículo (en francés) que tiene el objetivo de explicar las matemáticas detrás de el juego a un público más amplio.

Answer 3

Llegué a la conclusión de que debe ser de $57$ o más símbolos de la siguiente manera: el número total de símbolos que se muestran en todas las tarjetas es de $55\times8=440$. Si fue por $50$ símbolos diferentes, cada una debe ser mostrada $440:50=8.8$ veces, es decir, en menos de $9 a$ veces.

Si usted tomó el $9$ de tarjetas con un símbolo común, todos los demás símbolos, tendría que ser diferente, es decir, usted tendría $(8-1)\times9+1=64$ símbolos diferentes.

Si reducimos al máximo. el uso por el símbolo $8$, usted necesita solamente $(8-1)\times8+1=57$ Símbolos. $57\times8=456$, esto también supera el número de símbolos que se muestran así de ser una solución válida.

Para ser capaz de utilizar el menor número de símbolos (por ejemplo, $56$), el uso por el símbolo requieren de una reducción de 7 por (cada individuo) el símbolo, lo cual limitaría el no. de tarjetas de $56\times7:8=49$.

Por lo tanto, con $55$ tarjetas, el número mínimo de símbolos diferentes, es de $57$.

Answer 4

Tengo el juego mismo. Me tomé el tiempo para contar la frecuencia de aparición de cada objeto para cada tarjeta. Hay 55 cartas, 57 objetos, 8 por tarjeta. Lo interesante para mí es que cada objeto no aparece en la misma frecuencia con otros ... el mínimo es de 6, un máximo de 10, y la media de 7.719. Me quedo la curiosidad de por qué los fabricantes de Lugar en que Se decidió adoptar este enfoque. Al parecer están a favor de la hoja de trébol sobre la flor, la hoja de arce, o el hombre de nieve.

Answer 5

$n^2 -n + 1$ donde $n$ es el número de imágenes.

Este es el más simple fórmula para llegar a la cantidad de símbolos individuales y el número total de tarjetas necesarios para mostrar ellos (son las mismas).

Yo derivados de esta fórmula, lógicamente, pero no necesariamente matemáticamente de la siguiente manera:

Yo escogí una carta al azar y se centra en una sola imagen. Asumiendo ocho imágenes por tarjeta como los que se encuentran en este juego, esta imagen sólo se puede encontrar $8$ veces, una vez en la tarjeta que usted está sosteniendo y $7$ veces más.

Lo mismo es cierto para la siguiente imagen. Puede aparecer solo $8$ veces, si es que siguen siendo únicos - una vez en la tarjeta que usted está sosteniendo y una vez sobre cada uno de los $7$ más cartas.

Me di cuenta de la tendencia. Cada imagen aparece una vez en la tarjeta que usted está sosteniendo y requiere $7$ más cartas. Por lo tanto, necesita la 1 de la tarjeta que usted sostiene y 7 más por la imagen. Matemáticamente, supongo que es: $1 \text{tarjeta} + (7\text{tarjetas}\8\text{imágenes})$. Eso es $1+(7\times8)$ o $1+56 = 57.$

Lógico, hasta ahora.

Entonces, me encontré con la misma lógica y considerado una tarjeta con sólo $4$ imágenes. Cada tarjeta requeriría una base de la tarjeta y $3$ tarjetas adicionales por imagen. Matemáticamente, que sería de $1+ (3x4)$. Eso es $1+12$ o $13$ a las cartas.

Entonces, he tratado de vincular estas observaciones juntos. Me pregunté: "¿hay una fórmula que podría llegar a la respuesta correcta, sin importar el número de imágenes?" La respuesta es sí.

Me acordé de que en los ejemplos anteriores empecé con 1 tarjeta de agregado (uno menos que el número de imágenes) $\times$ (el número de imágenes). Eso es $1+ (n-1)(n)$ si $n$ es el número de imágenes. Entonces yo apenas algo cambiado un poco:
$$\begin{eqnarray*}1+ (n-1)(n) \\ 1+ (n)(n) - n \\ 1+ n^2 - n \\ n^2 - n + 1 \end{eqnarray*}$$

Lo he comprobado y funciona cada vez. Yo era muy feliz antes de que yo le grité a mi esposa por tomar tanto tiempo en el ordenador.