¿Mi campo está algebraicamente cerrado?

Question

Para un campo $L$, vamos a $\widetilde L$ ser la división de campo de todos los polinomios irreducibles sobre $L$ con primer grado de poder.

Pregunta: ¿tenemos $\widetilde{\mathbf Q}=\overline{\mathbf Q}$?

Mi dinero está en "no", porque no veo ninguna razón obvia por la que debe ser cierto. Si la respuesta es ciertamente negativo, se puede decir qué grado se produce como el menor grado de una $f\in \mathbf Q[X]$ lo que no se divide en $M$?

En cualquier caso, parece bastante difícil (para mí)...

Una variación: Tenemos una cadena de $$L \subset \widetilde L \subset \widetilde {\widetilde L} \subset \dots$$ Deje $\widehat L$ es el límite de esta cadena. Es cierto que $\widehat{\mathbf Q}=\overline{\mathbf Q}$? ¿La cadena estabilizar? El campo $\widehat{\mathbf Q}$ tiene la extraña propiedad de no tener extensiones finitas de primer grado de poder. En consecuencia, el grupo de Galois $\text{Gal }(\overline{\mathbf Q}/\widehat{\mathbf Q})$ tiene la extraña propiedad de no tener abierto subgrupos de prime-índice de poder...

Para $L$ un campo finito, es fácil ver que $\widetilde{L}=\overline{L}$. Obviamente hemos $\widetilde{\mathbf R}=\overline{\mathbf R}$. No sé si $\widetilde{\mathbf Q_p}=\overline{\mathbf Q_p}$ o si $\widehat{\mathbf Q_p}=\overline{\mathbf Q_p}$. (Edit: Cada finita de Galois de la extensión de $\mathbf Q_p$ es solucionable, y creo que de esto se desprende que $\widehat{\mathbf Q_p}=\overline{\mathbf Q_p}$.)

(He preguntado esto en MSE: por favor, consulte la discusión allí.)

Answer 1

$\def\QQ{\mathbb{Q}}$Edificio en YCor de la construcción, su campo es $\overline{\mathbb{Q}}$. Deje $L$ ser cualquier finita de Galois de la extensión de $\QQ$ con grupo de Galois $G$; voy a demostrar que $L$ está contenida en su campo.

Podemos encontrar un elemento $x$ en $L$, de modo que, para cualquier subconjunto no vacío $S$ de % de$G$, el producto $\prod_{\sigma \in S} x^{\sigma}$ no es cuadrada. Por ejemplo, elija $x$ a generar un director de primer ideal de $L$ se encuentra por encima del primer de $\mathbb{Q}$ que es completamente dividida en $L$. Deje $M$ ser el resultado de que se adherían a $L$ todas las raíces cuadradas $\sqrt{x^{\sigma}}$, para todos los $\sigma \in G$. Por lo $Gal(M/\mathbb{Q}) \cong G \ltimes (\mathbb{Z}/2)^G$, donde el primer $G$ hechos por permuting los factores en el segundo $G$.

Deje $F \subset M$ ser el campo fijo de $G \ltimes \{ 0 \}$. Este grupo índice $2^{|G|}$ en $Gal(M/\mathbb{Q})$, lo $[F:\QQ]=2^{|G|}$. Deje $f$ ser el polinomio mínimo de un elemento primitivo de $F$. Por lo $f$ se divide en su campo. Por lo tanto, su campo contiene $F$ y todos los Galois conjugados de $F$. Pero la intersección $\bigcap_{h \in G \ltimes (\mathbb{Z}/2)^G} h (G \ltimes \{ 0 \}) h^{-1}$ es trivial, por lo que la colección de Galois conjugados de $F$ genera $M$. Hemos demostrado que el campo contiene $M$, y por lo tanto, contiene $L$.