Ubicuidad de la fórmula push-pull

Question

La fórmula "push-pull" aparece en varias encarnaciones diferentes. Existen, al menos, las siguientes:

1) Si $f \colon X \to Y$ es un mapa continuo, entonces para las láminas $\mathcal{F}$ en $X$ y $\mathcal{G}$ en $Y$ tenemos $f_{*} (\mathcal{F} \otimes f^{*} \mathcal{G}) \cong f_{*} (\mathcal{F}) \otimes \mathcal{G}$ .

Una fórmula similar es válida para los funtores derivados y para $f^{!}$ .

2) Si $f \colon X \to Y$ es un mapa propio de esquemas, con $Y$ suave, ambos $f^{*}$ y $f_{*}$ se definen en los grupos de Chow, y $f_{*}(\alpha \cdot f^{*} \beta) = f_{*} \alpha \cdot \beta$ para las clases $\alpha \in CH^{*}(X)$ y $\beta \in CH^{*}(X)$ .

Por supuesto, un resultado similar es válido en cohomología si $f$ es un mapa propio de las variedades lisas, utilizando el mapa de Gysyn para el empuje.

3) Si $H < G$ son grupos finitos, tenemos dos funtores $\mathop{Ind}_{H}^{G}$ y $\mathop{Res}_{H}^{G}$ que pueden verse como mapas de retroceso y avance entre los anillos de representación $R(G)$ y $R(H)$ . De nuevo tenemos $\mathop{Ind}(U \otimes \mathop{Res} V) \cong \mathop{Ind} U \otimes V$ .

Edición: un ejemplo más aparece en el libro enlazado en la respuesta de Peter. Es un poco complicado de exponer, pero básicamente (si entiendo bien)

4) para un grupo topológico generado de forma compacta $G$ y para $G$ -espacios $A$ y $B$ se considera la categoría $G \mathcal{K}_A$ de $G$ -espacios más $A$ con mapas equivariantes (hasta la homotopía). Entonces, para un $G$ -mapa $f \colon A \to B$ uno tiene functores $f^{*} \colon G\mathcal{K}_B \to G\mathcal{K}_A$ y $f_{!} \colon G\mathcal{K}_A \to G\mathcal{K}_B$ satisfaciendo $f_{!}(f^{*}Y \wedge_A X) \cong Y \wedge_B f_{!} X$ .

Probablemente haya otras variaciones que ahora no recuerdo. Debo mencionar que en algunas situaciones 2) puede obtenerse mediante 1), pero no siempre, que yo sepa.

¿Existe un principio unificador (aunque sea informal) que explique por qué en estos diversos escenarios deberíamos tener siempre la misma fórmula?

Answer 1

Advertencia A continuación, una respuesta enorme y posiblemente ilegible. Pero deberías leerla, ya que creo que responde a tu pregunta. Hay una sección a mitad de camino donde comienza la respuesta real.

$\def\sh{\mathcal}\def\on{\operatorname}\def\id{\mathrm{id}}$ Todos sus ejemplos son, como otros los han descrito, ejemplos de "la" fórmula de proyección. En el contexto de los seis funtores, conozco una manera muy formal de demostrar este isomorfismo como consecuencia del cambio de base. Supongamos que tienes un mapa $f \colon X \to Y$ de "espacios" (esquemas, lo que sea) y quieres demostrar que para las gavillas $\sh{F}$ y $\sh{G}$ en $X$ y $Y$ respectivamente, existe un isomorfismo $$f_!(\sh{F} \otimes f^* \sh{G}) \cong f_! \sh{F} \otimes \sh{G}.$$ Primero, lo reescribes en términos del "producto tensorial externo" $\sh{F} \boxtimes \sh{G}$ en $X \times Y$ . Esta combinación tiene tres propiedades importantes:

1. Si tenemos otros mapas $g \colon W \to X$ y $h \colon Z \to Y$ y, a continuación, en $W \times Z$ : $$(g \times h)^* (\sh{F} \boxtimes \sh{G}) \cong g^* \sh{F} \boxtimes h^* \sh{G}.$$

2. Asimismo, si los mapas son $g \colon X \to W$ y $h \colon Y \to Z$ y, a continuación, en $W \times Z$ tenemos $$(g \times h)_! (\sh{F} \boxtimes \sh{G}) \cong g_! \sh{F} \boxtimes h_! \sh{G}.$$

3. Por último, si $X = Y$ y $\Delta_X \colon X \to X \times X$ es el mapa diagonal, entonces tenemos $$\sh{F} \otimes \sh{G} \cong \Delta_X^* (\sh{F} \boxtimes \sh{G}).$$

Es mejor pensar que la propiedad 3 define el producto tensorial habitual, en lugar de la ecuación $$\sh{F} \boxtimes \sh{G} = \on{pr}_X^* \sh{F} \otimes \on{pr}_Y^* \sh{G}$$ definiendo el producto tensorial externo. Esto es especialmente válido para las representaciones: si $V$ es una representación de un grupo $G$ y $W$ de un grupo $H$ entonces el espacio vectorial $V \otimes W$ es naturalmente una representación de $G \times H$ aunque $G = H$ cuando se permite restringir a la diagonal y producir la representación habitual del producto tensorial.

De todos modos, usando esto, quieres un isomorfismo: $$f_! (\id, f)^* (\sh{F} \boxtimes \sh{G}) \cong \Delta_X^* (f \times \id)_! (\sh{F} \boxtimes \sh{G}).$$ (El lado izquierdo se obtiene escribiendo $(\id, f) = (\id \times f) \Delta_Y$ y utilizando la propiedad 1.) Obviamente, es más productivo simplemente eliminar las gavillas y demostrar el isomorfismo natural de funtores. La combinación $(\id, f) \colon X \to X \times Y$ suele llamarse $\Gamma_f$ y es el gráfico de $f$ es el cambio de base del mapa diagonal $\Delta_X$ : $$\begin{matrix} X & \xrightarrow{\Gamma_f} & X \times Y \\ {\scriptstyle f} \downarrow & & \downarrow{\scriptstyle\id \times f} \\ Y & \xrightarrow{\Delta_X} & Y \times Y \end{matrix}$$ Por lo tanto, se deduce (efectivamente del cambio de base adecuado, aunque no importa que $\Delta_Y$ es adecuado ya que estamos utilizando el $!$ pushforward) que $$f_! \Gamma_f^* \cong \Delta_Y^* (f \times \id)_!$$ y esa es la fórmula de proyección.

Conexión con los ejemplos

Si quieres establecer una fórmula de proyección en un contexto más general, necesitas los siguientes ingredientes:

1. Algún tipo de producto tensorial externo (y, correspondientemente, algún tipo de producto de "espacios") que satisfaga el punto 3 anterior con respecto a cualquier functor que llames "pullback".

2. Puntos 1 y 2 anteriores para lo que usted llama "pullback" y "pushforward".

3. Un isomorfismo de cambio de base para productos de fibra de espacios.

Permítanme abordar estos puntos uno por uno para sus ejemplos.

• Vaina abeliana y pushforward/pullback continuo. Soy vergonzosamente ignorante de los ejemplos "fáciles" de cohomología, es decir, no sé lo que es cierto en los espacios topológicos. Sin embargo, está implícito en la obra de Brian Conrad notas (por encima de la Proposición 3.1) que cualquier mapa continuo de espacios topológicos anillados por la gavilla constante $\mathbb{Z}$ es "plano" (bueno, obviamente satisface el criterio algebraico de todos modos) y si ese es el caso, entonces el mapa de cambio de base es un isomorfismo debido al "cambio de base plano" y no propio. Los puntos 1 a 3 se satisfacen obviamente aquí, al igual que en el formalismo de los seis funtores, por lo que se obtiene la fórmula de proyección.

• Ciclos algebraicos y pullback/pushforward en el anillo de Chow. Tome sus "gavillas" como subesquemas cerrados en $X$ o $Y$ con el pullback como cambio de base plana y el pushforward como imagen propia del esquema teórico. El "producto tensorial externo" es sólo el obvio producto de los subesquemas en $X \times Y$ cuya restricción a la diagonal es, por supuesto, la intersección, por lo que se cumple el formalismo del punto 1. Nótese que el producto en el anillo de Chow es genéricamente el producto de intersección. El formalismo del punto 2 también se satisface, ya que se puede trabajar independientemente con cada coordenada. En cuanto al isomorfismo de cambio de base, es ciertamente cierto desde el punto de vista de la teoría de conjuntos, y creo que también funcionará desde el punto de vista de los esquemas, ya que para los esquemas afines, la imagen teórica de un mapa $A \to B$ es el anillo generado en $B$ por $A$ y esto es estable al tomar un producto tensorial con alguna extensión de $A$ . Reconozco que estoy un poco fatigado (estoy escribiendo este párrafo el último) así que estoy dispuesto a aceptar las críticas por ser tan vago.

• Grupos finitos con inducción (= pushforward) / restricción (= pullback). Aquí, obviamente, el producto de "espacios" es el producto de grupos y el producto externo de "poleas" es el producto tensorial $V \otimes W$ de representaciones de dos grupos $G$ y $H$ considerado de forma natural como una representación de $G$ y $H$ . El punto 1 se cumple ya que $G$ y $H$ simplemente actuar por separado en cada factor. El punto 2 es obvio para la restricción y para la inducción, utilizamos el hecho que darij dio en su respuesta: $\def\Ind{\operatorname{Ind}}\Ind_H^G$ se tensa con $k[G]$ y $$(V \otimes_{k[G]} k[G']) \otimes_k (W \otimes_{k[H]} k[H']) = (V \otimes_k W) \otimes_{k[G \times H]} k[G' \times H'].$$ Por tanto, el punto 2 también se cumple. El isomorfismo de cambio de base es complicado; en realidad no es cierto en general que para los subgrupos $H, K \subset G$ tenemos $\Ind_H^G(V)|_K \cong \Ind_{K \cap H}^K(V|_{K \cap H})$ Aunque tenemos un mapa (el mapa de cambio de base, por supuesto): $$ \Ind_{K \cap H}^K(V |_{K \cap H}) = V \otimes_{k [K \cap H]} k[K] \to V \otimes_{k[H]} k[G]|_K = \Ind_H^G(V)|_K$$ enviando elementos de $K \subset G$ en $G$ que obviamente es $k[K \cap H]$ -lineal. Los dos lados tienen dimensiones (tiempos $\dim V$ ), respectivamente, $[K : K \cap H]$ y $[G : H]$ donde el primero también es igual a $\#(K.H)/H$ . Por tanto, estos índices son iguales si y sólo si $G = K.H$ y esto ocurre realmente en la situación particular de la fórmula de proyección, donde $K = G \subset G \times G$ y " $H$ " es $G \times H \subset G \times G$ . Entonces el mapa de cambio de base es un isomorfismo contando las dimensiones (¡finitas!), y se obtiene de nuevo la fórmula de proyección.

  Quizá valga la pena señalar que la fórmula de proyección para las representaciones de grupos está muy relacionada con la de las láminas, ya que para cualquier grupo algebraico (por ejemplo, finito) $G$ podemos formar la pila algebraica $*/G$ en la que las láminas cuasi-coherentes se identifican con representaciones de $G$ . Así que, modulo una teoría satisfactoria de cambio de base para morfismos de pilas, este ejemplo es en realidad más o menos lo mismo que el ejemplo 1.

• Espacios con acciones topológicas de grupo y restricción (= pullback)/?? (= pushforward). Por desgracia, no puedo comentar este ejemplo, ya que no entiendo la teoría de la homotopía moderna (o incluso algo anticuada). Sin embargo, si recuerdo lo que una vez supe sobre los productos de smash, tenemos para los espacios $X$ y $Y$ sobre un espacio $A$ habiendo distinguido secciones de $A$ que (en una especie de notación cociente informal) $$X \wedge_A Y = X \times_A Y / (A \times_A Y = A, X \times_A A = A),$$ las "igualdades" son que el $Y$ -coordinar o $X$ -La coordenada se identifica con cualquier punto de $A$ se mapea a través de la estructura como $A$ -espacios. Por lo tanto, si tenemos dos espacios base $A$ y $B$ y espacios $X$ y $Y$ sobre ellos, respectivamente, tenemos un evidente "producto de choque externo" sobre $A \times B$ (Pido disculpas por el símbolo de la pirámide): $$X \mathop{\fbox{$ \N - Cobertura $}} Y = X \times Y / (A \times Y = A \times B, X \times A = A \times B)$$ de la misma manera. Y si $A = B$ esta base cambia correctamente a la copia diagonal de $A$ por lo que al menos se cumple el formalismo del punto 1, junto con la parte de restricción del punto 2. No puedo decir nada sobre las partes de empuje hacia adelante, por desgracia, pero tal vez usted (si todavía está siguiendo esto en absoluto) puede llenar los detalles ahora.

Answer 2

Este documento de Fausk, Hu y May no dice exactamente por qué esos mapas deberían ser isomorfismos en situaciones más concretas, pero explica limpiamente los escenarios abstractos en los que surgen -mira, por ejemplo, las proposiciones 2.4 y 2.8 para formulaciones equivalentes de fórmulas de proyección.

Para un ejemplo de fórmula de proyección que no está en la lista de su pregunta, véase la ecuación 2.2.5 en este libro de May y Sigurdsson - es un ejemplo para el resumen "contexto de Wirthmüller" del artículo anterior, que, creo, inspiró a los autores a hacer el análisis del resumen en primer lugar.

Answer 3

¿No se trata de la Condición de Beck-Chevalley ? Algunas de sus manifestaciones fueron discutidas en este rosca .

Answer 4

Para relacionar (1) y (3), nótese que una representación de un grupo G es lo mismo que un haz vectorial sobre la pila pt/G.

No estoy seguro, pero supongo que (algunos (¿pero no todos?) casos de) (2) se derivan de (1) tomando clases de Chern (apropiadas)?

Answer 5

La explicación de 3) es que $\mathrm{Ind}$ es un tipo de tensado de la izquierda: $\mathrm{Ind}^G_H V\cong k\left[G\right]\otimes_{k\left[H\right]} V$ como $k\left[G\right]$ -módulos. Ahora el isomorfismo $\mathrm{Ind}\left(U\otimes \mathrm{Res} V\right)\cong \mathrm{Ind}U\otimes V$ adopta la forma más evidente $k\left[G\right]\otimes_{k\left[H\right]} \left(U\otimes V\right)\cong \left(k\left[G\right]\otimes_{k\left[H\right]} U\right)\otimes V$ . Por supuesto, esto parece seguirse trivialmente de la asociatividad del producto tensorial, pero no es tan fácil: el signo del producto tensorial $\otimes$ (sin $k\left[H\right]$ abajo) es no un producto tensorial de módulos. Sin embargo, podemos salvar el enfoque haciendo $V$ a a la derecha $k\left[G\right]$ -módulo por $vg=g^{-1}v$ y luego aplicar la asociatividad del producto tensorial. Incluso obtenemos una afirmación más fuerte de esta manera: que $k\left[G\right]\otimes_{k\left[H\right]} \left(U\otimes V\right)\cong \left(k\left[G\right]\otimes_{k\left[H\right]} U\right)\otimes V$ como $\left(k\left[G\right],k\left[G\right]\right)$ -bimódulos.

Desgraciadamente, no tengo absolutamente ninguna intuición para las gavillas y los esquemas, pero tal vez es este tipo de argumento el que deberías buscar: escribir el functor como un tensado con algo de la izquierda, y aplicar la asociatividad, posiblemente después de rescatar alguna estructura a la derecha que de otra manera se vería dañada por el tensado.