Empezando en una semana voy a ser un instructor en un programa de verano de gran talento matemático de estudiantes de secundaria y voy a ser la enseñanza de una clase de Schubert cálculo. Los estudiantes sin duda sabe de álgebra lineal, y muchos (pero no todos) de ellos sabe lo que es un anillo. Ellos definitivamente todos tienen suficiente exposición a la rigurosa de las matemáticas para saber cómo reconocer a una rigurosa prueba cuando la ve. También se han visto un poco acerca de la teoría de la simétrica funciones, incluyendo funciones de Schur y la Pieri regla.
Quiero presentar los conceptos básicos de Schubert cálculo en tan creíble de una manera de lo posible. Voy a tener tal vez cuatro o cinco días, una hora por día, para obtener a, digamos, la Pieri regla para ciclos de Schubert, o a cualquier otra forma de conectarse Schubert cálculo de los simétrica funciones.
Tengo pensado hablar de la Grassmannian y la Plücker de incrustación y a convencerlos de que lo que estamos buscando es "justo" en el número de puntos en la Grassmannian (y por lo tanto en el espacio proyectivo) que satisfacen algunas ecuaciones polinómicas. Me gustaría hablar sobre el producto en el cohomology anillo de la Grassmannian, pero probablemente sin llamarle así, y con tan poca mano saludando como sea posible.
Así que mi pregunta es:
¿Cuál es la mejor manera de convencer a la audiencia que la multiplicación de ciclos de Schubert es una buena cosa que hacer, que cuenta con soluciones de Schubert problemas, y que formalmente se parece a la multiplicación de Schur funciones?
Sé que probablemente no va a ser posible para ser riguroso, sobre todo, pero me gustaría que la presentación sea lo más limpio y convincente como sea posible, porque de lo contrario creo que va a ser muy insatisfactorio.
EDIT: Algunas de las respuestas que me han inspirado para ser más específicos. Definitivamente, voy a ser capaz de mostrar que si se cruzan dos Schubert variedades de dimensión complementaria con respecto a la frente de banderas, se obtiene un punto si son dual y cero puntos en caso contrario. El cepillado bajo el tapete la cuestión de la multiplicidad de ese punto, esto significa que yo podría mostrar el Pieri regla contando el número de puntos en la intersección de tres Schubert variedades w.r.t. banderas en posición general, uno de los cuales es un "especial" de Schubert correspondiente a una partición con una fila, siempre pude convencerlos de que:
- Hay una cierta noción de "genérico" de manera tal que, dado un número finito de subvariedades de la Grassmannian, puedo tomar genérico $GL_n$ se traduce de cada uno de ellos y se cruzan con ellos, y hay algunos significativos de equivalencia de la relación tal que la cosa de la que me sale es "equivalente" a condición de que la traduce fueron "genérico" es suficiente.
- Schuberts abarcan el cohomology anillo. Feliz de estado, esto sin prueba si puedo encontrar una manera de.
Claro que tengo a la caja negra de algo; yo no voy a desarrollar toda la teoría moderna de la intersección cohomology para los estudiantes de secundaria en dos horas. La pregunta es cómo hacer que no parezca que estoy empujando el 100% de la motivación debajo de la alfombra.
