Extendiendo un difeomorfismo de S ^ 2 a D ^ 3

Question

Un resultado fundamental en 3 dimensiones suave topología, que en equipo jerga que podría referirse como "primitivo", es la declaración de que cualquier ($C^\infty$) diffeomorphism de S² , se extiende a una diffeomorphism de la cerrada 3-bola D³. Otra forma de decir lo mismo sería decir que $Diff(S^2)$ está conectado. Este teorema fue probada por primera vez por Munkres [Mich. De matemáticas. Jour. 7 (1960), 193-197]. Más tarde, Smale demostrado ser el más fuerte resultado que $Diff(S^2)$ tiene el homotopy tipo de $O(3)$ [Proc. AMS 10 (1959), 621-626]. Otra prueba de Smale el resultado está dado por Cerf en el apéndice a [Sur les difféomorphismes de la sphère de dimensión trois ($Γ_4=0$), Notas de la Conferencia en Matemáticas, Nº 53. Springer-Verlag, Berlín-Nueva York, 1968].

Pregunta 1: ¿existen otras pruebas para la declaración de que cualquier diffeomorphism de S² , se extiende a una diffeomorphism de la cerrada 3-bola D³?

Hay dos razones por las que no estoy totalmente satisfecho con las pruebas que he citado anteriormente. Smale de la prueba y Cerf de la prueba muestran mucho más y usar lo que a mí me parece "demasiado maquinaria" para el "$Diff(S^2)$ está conectado" declaración", y, en particular, la maquinaria que parece fuera básicos de la topología diferencial (tal vez me equivoque, no he entrado en ellos en mucho detalle). Munkres la prueba tiene un número de referencia a otro de sus papeles [Ann. Matemáticas. 72(3) (1960), 521-554], y las esquinas deben ser suavizadas una y otra y otra y otra vez para obtener un honesto suave isotopía entre un determinado diffeomorphism de S² y la identidad. Lo que es peor, parece difícil extraer un algoritmo de Munkres prueba del Lema 1.1 se ve no-constructiva - no sé cómo extraer un hormigón diffeomorphism de su prueba), lo que me lleva a mi segunda pregunta:

Pregunta 2: ¿Cómo podría implementar una extensión de un suave diffeomorphism de la 2-esfera a las 3-disco? Para hacer las cosas muy concretas, digamos que yo tenía una imagen de la superficie de la tierra, que yo deformado por alguna extraña diffeomorphism f de S². Cómo (por equipo) puedo sin problemas deforman la espalda a la habitual foto de la tierra?

Una dimensión abajo, tal vez una manera de hacerlo podría ser "relajarse un diffeomorphism de un círculo poco a poco el uso de la ecuación del calor" (ver a Greg Kuperberg comentario aquí). Hace de esta obra una dimensión de seguridad? No pude averiguar esto, pero no veo una evidente obstrucción - no en la dimensión $3$. O tal vez hay una mancha de la forma de aplicación de Munkres de la prueba por el levantamiento de la orientación de la preservación de diffeomorphism de $S^2$ a $Spin(3)$ o algo... realmente no tengo idea.

Nota, sin embargo, que otras pruebas que diffeomorphisms de S¹ extienden a D² claramente parecen fallar en la dimensión 3... en particular, tratando de utilizar a algún tipo de Alexander truco para peinar todo el "malo" de la diffeomorphism en un pequeño disco y reducir ese disco a un punto de no dará lugar a una suave isotopía.

Finalmente, Morris Hirsch dice en una nota a pie de página en la Página 38 de Los collected Papers de Stephen Smale: "Alrededor de este tiempo [1959] un esquema de una prueba atribuido a Kneser circulaba por la palabra de la boca; estaba basado en una supuesta versión del Mapeo de Riemann Teorema que da suavidad en el límite de lisa Jordan dominios, y suave de la dependencia de los parámetros. No sé si esa prueba nunca fue publicado."

Pregunta 3: Fue una prueba de que se haya publicado? ¿Hay algo más que decir acerca de esta prueba en el esquema?

Edit: en Realidad, me gustaría añadir una cuarta pregunta:

Pregunta 4: ¿hay algún "segunda generación", detalló exposiciones de cualquiera de las anteriores pruebas?

Answer 1

Más de una encuesta de cosas relacionadas de una respuesta, pero aquí va.

Vamos a escribir $D(n)$ por el espacio de forma compacta compatible diffeomorphisms $\mathbb R^n\to \mathbb R^n$. Una conjetura razonable podría ser que este es contráctiles, pero esto es cierto sólo para valores muy pequeños de $n$.

El espacio de $Diff(S^n)$ de diffeomorphisms $S^n\to S^n$ contiene la Mentira de grupo $O(n+1)$. Una conjetura razonable podría ser que la inclusión de $O(n+1)$ es un homotopy de equivalencia, pero no. De hecho, esto es equivalente a la primera conjetura: El subgrupo de $Diff(S^n)$ consta de diffeomorphisms apoyado en el complemento de un punto dado puede ser identificado con $D(n)$, y la multiplicación de mapa de $D(n)\times O(n+1)\to Diff(S^n)$ (que no es un grupo homomorphism) es una equivalencia. Usted puede ver esto mediante la comparación de $O(n+1)$ con el espacio de cosets $Diff(S^n)/D(n)$. Por lo tanto $D(n)$ es lo que se podría llamar la exótica parte de la homotopy tipo de $Diff(S^n)$. También es equivalente al espacio de todos los diffeomorphisms $D^n\to D^n$ la fijación de la frontera pointwise.

Introducir un jugador más: el espacio de todos compacta compatible diffeomorphisms $\mathbb R^n\times \lbrack 0,\infty )\to \mathbb R^n\times \lbrack 0,\infty )$. Llamar a esto $P(n)$. Lo fibras de más de $D(n)$, y la fibra es equivalente a $D(n+1)$. Es equivalente al espacio de "pseudoisotopies" de $D^n$.

La declaración de que todos los diffeomorphism de $S^n$ se extiende a $D^{n+1}$ significa precisamente que $P(n)\to D(n)$ induce un surjection de los componentes. En principio, esto es más débil que la declaración de que $D(n)$ está conectado, pero resulta que (al menos para la mayoría de los valores de $n$, tal vez de todo?) $P(n)$ está conectado.

En dimensiones bajas de la historia es esta:

$D(0)$ es un punto.

$P(0)=D(1)$ es contráctiles porque es convexo: convexa de las combinaciones lineales de orden-la preservación de diffeomorphisms de la línea son, de nuevo, el fin de la preservación de diffeomorphisms.

$P(1)\sim D(2)$ es contráctiles. Soy consciente de dos enfoques:

(1) yo creo que cuando Smale (re-)demostró que utiliza la de Poincaré-Bendixson Teorema. El quid es que, dada una forma compacta compatible campo de la tangente líneas en el semiplano $y\ge 0$ transversal a la línea de $y=0$, si la sigue de $y=0$ va a obtener todo el camino hacia arriba y no quedar atrapada en algunos espiral.

(2) el análisis Complejo. Siempre me imagino que las siguientes obras, pero no estoy seguro de los detalles: El espacio de Riemann métricas en $S^2$ es contráctiles porque es convexo. El espacio de conformación de las estructuras en $S^2$ es contráctiles porque su producto con el espacio de funciones positivas en $S^2$ es que el espacio de las métricas. El grupo $Diff(S^2)$ actúa en este contráctiles espacio. Actúa transitivamente, por el teorema de uniformización, y, presumiblemente, en una lo suficientemente fuerte sensación de que esto implica que el subgrupo de preservar el estándar de conformación de la estructura es equivalente a la totalidad. Este subgrupo (Moebius transformaciones más complejas conjugación) es equivalente a su máxima compacto subgrupo $O(3)$.

Por lo tanto $P(2)\sim D(3)$. Smale conjeturado que este es contráctiles. Hatcher probado.

Por lo tanto $P(3)\sim D(4)$. Yo en realidad no saben nada acerca de este espacio.

Para grandes valores de $n$ (se me olvida de cómo es de grande):

El espacio de $P(n)$ está relacionado, por un teorema de Cerf. Pero esto no significa en absoluto que $D(n)$ está conectado: tenemos una secuencia exacta $\dots \to\pi_1D(n)\to \pi_0D(n+1)\to \pi_0P(n)\to \pi_0D(n)$.

$\pi_0D(n)$ es el Kervaire-Milnor grupo de homotopy $(n+1)$-esferas, conocido por ser finito, y con frecuencia no trivial: Usted puede hacer un suave colector de homeomórficos a $S^{n+1}$ a partir de cualquier elemento de $\pi_0D(n)$ al pegar dos hemisferios juntos. Por la $h$-cobordism teorema, usted obtiene todos los homotopy esferas de esta manera; y es elemental ver que dos elementos que dan lo mismo si y sólo si difieren por algo en la imagen de $\pi_0P(n)$.

Hay un importante mapa de $P(n)\to P(n+1)$. Hatcher mostró, y Igusa demostrado, que es acerca de $\frac{n}{3}$-conectado. En el rango estable $P(n)$ es esencialmente el Waldhausen $K$-teoría de un punto, que racionalmente es el mismo que el algebraicas $K$-teoría de la $\mathbb Z$, y esto implica un montón de elementos de orden infinito en el homotopy grupos de $P(n)$ e $D(n)$ en grados menos de $\frac{n}{3}$.

Answer 2

La prueba de Smale es bastante simple y geométrica. Recomiendo leer su artículo.

También hay una hermosa prueba corta del teorema de Smale usando el teorema de mapeo de Riemann medible en

MR0276999 (43 # 2737a) Earle, Clifford J .; Eells, James Descripción de un paquete de fibras de la teoría de Teichmüller. J. Geometría diferencial 3 1969 19–43.

Answer 3

En el documento se da una prueba combinatoria del teorema de Smale (en realidad un teorema más fuerte, que en el momento del artículo citado era una conjetura de N. Kuiper).

El espacio de los homeomorfismos lineales simplexwise de un bloque E. convexo de 2 discos, R Connelly, DW Henderson - Topología, 1984 - Elsevier

Esto en realidad puede hacerse algorítmico.

Answer 4

Con respecto a (2), la prueba de Smale puede hacerse algorítmica. La prueba de Smale da una fórmula para la extensión. La fórmula implica algunas funciones de relieve, la derivada, una elevación de una derivada a la cubierta universal de un círculo, una homotopía en línea recta, la integración de un campo vectorial y algo de álgebra lineal. Todas estas cosas tienen aproximaciones numéricas efectivas, por lo que si está satisfecho con una aproximación numérica a un difeomorfismo, ciertamente puede encontrar una algorítmicamente.