"Transitividad" de la compactificación Stone-Cech

Question

Sea $\beta \mathbb{N}$ sea la compactificación Stone-Cech de los números naturales $\mathbb{N}$ y que $x, y \in \beta \mathbb{N} \setminus \mathbb{N}$ sean dos elementos no principales de esta compactificación (o equivalentemente, $x$ y $y$ son dos ultrafiltros no principales). Me interesan las formas de "modelar" el ultrafiltro $y$ uso del ultrafiltro $x$ . Más concretamente,

Q1. (Existencia) ¿Existe necesariamente un mapa continuo $f: \beta \mathbb{N} \to \beta \mathbb{N}$ que asigna $x$ à $y$ mientras que $\mathbb{N}$ à $\mathbb{N}$ ? Dicho de otro modo: ¿existe una función $f: \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ tal que $\lim_{n \to x} f(n) = y$ ?

Q2. (Unicidad) Supongamos que hay dos mapas continuos $f, g: \beta \mathbb{N} \to \beta\mathbb{N}$ con $f(x)=g(x)=y$ cuyo mapa $\mathbb{N}$ à $\mathbb{N}$ . ¿Es entonces cierto que $f$ y $g$ deben ser iguales en una vecindad de $x$ ?

Sospecho que la respuesta a ambas preguntas es "no" o "indecidible en ZFC", aunque tal vez existan ultrafiltros "universales" $x$ para las que las respuestas se convierten en sí. Pero no tengo suficiente intuición respecto a la topología de $\beta \mathbb{N}$ (aparte de que es algo patológico) para precisarlo. (El hecho de que $\beta\mathbb{N}$ no es contable en primer lugar parece indicar que las respuestas deben ser negativas).

Answer 1

La respuesta a la P1 es no. Esto ha sido bien estudiado en teoría de conjuntos; básicamente estás preguntando si dos ultrafiltros no principales cualesquiera sobre $\mathbb{N}$ son comparables bajo la ordenación Rudin-Keisler. Las variaciones de su pregunta han dado lugar a muchos, muchos desarrollos interesantes en la teoría de conjuntos, pero su pregunta Q1 es fácil de responder con un argumento de cardinalidad.

En primer lugar, tenga en cuenta que cada $f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ tiene una extensión única a una función continua $\bar{f}:\beta\mathbb{N}\to\beta\mathbb{N}$ . Cualquier $x \in \beta\mathbb{N}$ tiene como máximo $2^{\aleph_0}$ imágenes a través de $\bar{f}$ pero hay $2^{2^{\aleph_0}}$ ultrafiltros en $\mathbb{N}$ así que hay muchos $y \in \beta\mathbb{N}$ que no son imágenes de $x$ a través de $\bar{f}$ .

La respuesta a Q2 también es no. Sea $y$ sea un ultrafiltro no principal en $\mathbb{N}$ . Los conjuntos $A \times A\setminus\Delta$ donde $A \in y$ y $\Delta = \{(n,n) : n \in \mathbb{N}\}$ forman una base filtrante sobre $\mathbb{N}\times\mathbb{N}$ . Sea $x$ sea un ultrafiltro en $\mathbb{N}\times\mathbb{N}$ que contiene todos estos conjuntos. Las proyecciones izquierda y derecha $\pi_1,\pi_2:\mathbb{N}\times\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ ambos envían $x$ à $y$ pero no son iguales en ninguna vecindad de $x$ .

Sin embargo, la respuesta a la P2 es afirmativa cuando $x$ es un ultrafiltro selectivo. Recordemos que $x$ es selectiva si para cada $h:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ existe un conjunto $A \in x$ en el que $h$ es constante o uno a uno. Dado $f,g:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ tal que $\bar{f}(x) = \bar{g}(x)$ es no principal, entonces podemos encontrar $A \in x$ en el que $f$ y $g$ son ambos uno a uno. En ese caso, $f\circ g^{-1}$ debe estar bien definida en algún $A' \in x$ . Cualquier ampliación de $f\circ g^{-1}$ al complemento de $A'$ debe mapa $x$ à $x$ lo que significa que $f \circ g^{-1}$ es la identidad en algún $A'' \in x$ . Así $f$ y $g$ son iguales en la vecindad de $x$ definido por $A''$ .

Answer 2

La respuesta a la primera pregunta es aún más negativa: Kunen demostró que hay x y y tal que x no puede asignarse a y y y no puede asignarse a x Ver esta revisión . Esto se ha visto reforzado por Rudin y Shelah . Todavía está abierto, que yo sepa, si dado x hay un y de manera que ninguno de los dos pueda asignarse al otro.