¿Cambia la categoría de campos (algebraicamente cerrados) de la característica %-%-% cuando se cambia el %-%-%?

Question

Deje $\mathrm{ACF}_p$ denotar la categoría de algebraicamente cerrado campos de la característica $p$, con todos los homomorphisms como morfismos. La pregunta es: cuando hay una equivalencia de categorías entre las $\mathrm{ACF}_p$ e $\mathrm{ACF}_l$ (con la espera de la respuesta de ser: sólo al $p=l$)?

También me gustaría estar interesado en la respuesta con las palabras "algebraicamente cerrado" eliminado -- no estoy seguro de si es más fácil o más difícil. También, hay una natural topológico de enriquecimiento de $\mathrm{ACF}_p$ donde se da la homset la topología de pointwise convergencia (que produce la habitual de la topología en la absoluta grupo de Galois). Me interesaría escuchar de una manera de distinguir estos topológicamente enriquecido categorías, que en principio podría ser más fácil.

Aquí están algunas de las observaciones (con el "algebraicamente cerrado" condición):

1. En primer lugar, cualquier equivalencia de categorías debe hacer lo que es obvio en los objetos, la preservación de la trascendencia grado debido a $K$ tiene un menor trascendencia grado de $L$ si y sólo si hay un morfismos $K \to L$ pero no $L \to K$ (y usando el hecho de que la categoría de los ordinales no tiene nonidentity automorfismos, como ha señalado Eric Wofsey).

2. Podemos distinguir el caso de $p=0$ desde el caso de $p \neq 0$ porque $\mathrm{Gal}(\mathbb{Q}) \not \cong \mathrm{Gal}(\mathbb{F}_p)$. Pero $\mathrm{Gal}(\mathbb{F}_p) \cong \hat{\mathbb{Z}}$ para cualquier prime $p$. Así que no podemos distinguir $\mathrm{ACF}_p$ de $\mathrm{ACF}_l$ para diferentes números primos $p \neq l$ en un simple camino. Así que para el resto de este post, vamos a $p,l$ ser distintos de los números primos.

3. La siguiente conjetura es que tal vez podemos distinguir $\mathrm{ACF}_p$ de $\mathrm{ACF}_l$ por ver que $\mathrm{Aut}(\overline{\mathbb{F}_p(t)}) \not \cong \mathrm{Aut}(\overline{\mathbb{F}_l(t)})$. Para este fin, se nota que hay una torre de $\mathbb{F}_p \subset \overline{\mathbb{F}_p} \subset \overline{\mathbb{F}_p}(t) \subset \overline{\mathbb{F}_p(t)}$. El automorphism grupos de estos intermedios extensiones son, respectivamente,$\hat{\mathbb{Z}}$, $\mathrm{PGL}_2(\overline{\mathbb{F}_p})$, y una profinite grupo (el último es de acuerdo a wikipedia).

A partir de (3), existe al menos un subquotient $\mathrm{PGL}_2(\overline{\mathbb{F}_p}) \subset \mathrm{Aut}(\overline{\mathbb{F}_p(t)})$ que es diferente para diferentes números primos. Pero no veo cómo activar esta observación en una prueba de que $\mathrm{Aut}(\overline{\mathbb{F}_p(t)}) \not \cong \mathrm{Aut}(\overline{\mathbb{F}_l(t)})$ específicamente, o que $\mathrm{ACF}_p \not \simeq \mathrm{ACF}_l$ más en general.

Al principio me ha publicado esto en matemáticas.SÍ, pensando que debe ser una manera fácil de resolver que la mentira sólo más allá del alcance de mi algebraica de la competencia, pero después de que la cuestión ha languidecido durante una semana creo que tal vez debería probarlo aquí.

Answer 1

Si usted no imponer una algebraicamente cerrado condición, no hay dos que son equivalentes. Esto sigue, básicamente, de su (3). Es decir, se observa que la

Una extensión es finito si y sólo si tiene un número finito de subextensions (de lo contrario, contiene $\mathbb{F}_p(x)$, lo que, a continuación, contiene $\mathbb{F}_p(x^n)$ para todos los $n$). $\bar{\mathbb{F}}_p$ es la única extensión que puede ser escrito como una forma directa de limitar la participación de todos extensiones algebraicas. El más pequeño campo que contiene, pero no isomorfo a $\bar{\mathbb{F}}_p$ es la función racional campo $\bar{\mathbb{F}}_p(x)$ (en el sentido de que cualquier mapa de $\bar{\mathbb{F}}_p\to K$ contiene un elemento trascendental, por lo tanto los factores a través de $\bar{\mathbb{F}}_p(x)$, y un mapa de la $\bar{\mathbb{F}}_p\to \bar{\mathbb{F}}_p(x)$ no factor a través de otro campo que no es isomorfo a uno de estos).

Ahora, como usted ha observado, la automorphism grupo de $\bar{\mathbb{F}}_p(x)$ sobre $\bar{\mathbb{F}}_p$ es $PGL_2(\bar{\mathbb{F}}_p)$. Estos grupos son nonisomorphic para diferentes números primos. Para ver esto, por ejemplo, tenga en cuenta que $PGL_2(\bar{\mathbb{F}}_p)$ contiene un máximo de abelian subgrupo isomorfo a $\mathbb{F}_p$ (de unipotentes superior triangular de matrices), pero no $\mathbb{F}_\ell$ para $\ell \ne p$ (como todos los demás máxima conmutativa subgrupos son conjugado a la diagonal de las matrices, que tiene un montón de diferentes prime componentes).

El algebraicamente cerrado caso parece ser más difícil desde este punto de vista.

Answer 2

La respuesta es "sólo cuando el $p=l$" si usted trabaja con la categoría de algebraicamente cerrado campos enriquecida a través de la categoría de los espacios topológicos. Eso significa que quiero poner una topología en un conjunto de homomorphisms de un campo a otro. Voy a hacer esto con el compacto-abierta topología la topología discreta para cada uno de los campos, es decir, una base para el abierto de conjuntos consta de los conjuntos de $B_{x,y} =\{ f \mid f(x)=y\}$. Esta es la manera estándar de topologing grupos de Galois, por ejemplo.

Construiremos $PGL_2(\overline{\mathbb F}_p)$ de esta categoría en varios pasos. (Esto es suficiente, porque de lo que usted ha señalado acerca de máxima $p$-subgrupos.)

En primer lugar, como usted ha dicho, que podemos encontrar en esta categoría el único algebraicamente cerrado campo de la trascendencia grado $0$, es decir, $\overline{\mathbb F_p}$ y de la trascendencia grado $1$, es decir,$\overline{\mathbb F_p(t)}$. Tomar cualquier mapa de la primera a la segunda. Considerar el grupo de automorfismos de la segunda, que forman un conmutativa triángulo con este mapa. Este es el grupo topológico $\operatorname{Aut}(\overline{\mathbb F_p(t)}/\overline{\mathbb F}_p)$.

A continuación podemos clasificar el pacto abrir los subgrupos de este grupo. Cualquier subgrupo contiene algunas conjunto abierto no vacío de la forma: $\{ f \mid f(x_1)=y_1,\dots, f(x_n)=y_n\}$. Componiendo con elemento de ese conjunto, contiene $\{f \mid f(x_1)=x_1,\dots, f(x_n)=x_n\}$. Este es un subgrupo abierto, por lo que es finito-índice. De ello se desprende que este subgrupo contiene el grupo de Galois de la curva con la función de campo de $\mathbb F_p(x_1,\dots,x_n)$ como finito índice de los subgrupos, de manera que contiene el grupo de Galois de algunos cubierta de la curva como un finito índice normal de los subgrupos, por lo que es el grupo de Galois de un cociente de que la cubierta por un subgrupo finito de su automorphism grupo. Así que cada compacto abrir subgrupo es el grupo de Galois de alguna curva.

Deje $H$ ser un equipo compacto abrir subgrupo de fijación de campo $F$. El normalizador $N(H)$ de % de $H$ actúa de forma natural en $F$, y el núcleo de esa acción es $H$, lo $N(H)/H$ es un subgrupo de los automorfismos de $F$. En realidad es de todos los automorfismos de $F$, ya que estos claramente normalizar $H$. Así podemos construir el conjunto de todos los automorphism grupos de curvas de más de $\overline{\mathbb F}_p$.

Entre estos, el único infinito nonsolvable grupos son los automorphism grupos de curvas de género $0$, los cuales son todos isomorfo a $PGL_2(\overline{\mathbb F}_p)$. Así podemos construir $PGL_2(\overline{\mathbb F}_p)$.

Answer 3

La pura categoría de la teoría de la lectura de esta pregunta es: ¿hay algunos universal de la propiedad de los objetos y morfismos que distingue entre las categorías de campos?

Por supuesto, el meollo de la cuestión se reduce a la teoría de Galois y finito grupo en la teoría, pero voy a dejar que estos algebraists y acaba de dar la categoría de los de la propiedad.

Algebraists puede ser consciente de la década de 1980, el trabajo de Yves Diers en multi-colimits. Yo creo que él estaba interesado principalmente en las categorías de la propiedad conmutativa de los anillos o tal vez integral de dominios en lugar de los campos.

En tales categorías en un diagrama puede dejar de tener una colimit en el estándar sentido pero en lugar de tener un conjunto de ellos, con la característica universal que, para cada cocone, exactamente uno de sus miembros, tiene la costumbre de la propiedad.

Para este problema con categorías de campos, tenemos que generalizar un poco más a lo que François Lamarche y me llama poli-colimits. Ahora el conjunto de colimit candidatos se convierte en un groupoid.

La forma más sencilla de entender la definición de multi - o poli-colimit es, probablemente, mirar rebanada de categorías. En el caso de las categorías de campos, estas son sólo las rejillas de los subcampos. El problema con este es que el conjunto de colimit candidatos no es muy clara y es probablemente muy difícil ver la groupoid estructura.

Una mejor manera, al menos por un categorist, es ver esta situación como una factorización del sistema, que es la forma en que se presenta en mis papeles.

Creo que la forma de calcular la poli-subproducto de dos campos es la forma de su producto tensor qua los módulos a través de los primos comunes campo y expresar que como una suma directa de los campos. (Esto lo aprendí en la idea de Charles Matthews.)

Creo que si empiezas con dos "discontinuo" normal extensiones separables, esta construcción se da un solo campo. Sin embargo, esto no es el subproducto, pero la poli-subproducto, indexado por un grupo (uno-objeto groupoid) que debe bastante estrechamente relacionado con algún grupo de Galois.

Lo siento por el handwaving, pero espero que no es suficiente la novedad en lo que he dicho para despertar el apetito de algunos categóricamente mente algebrista. Era más de 20 años atrás, cuando exploré en este tema, muchos de mis trabajos nunca fueron terminados y perdí el interés.)