¿Qué es ... un Grossone?

Question

Y. Sergeyev desarrollado un sistema posicional para representar números infinitos uso de una unidad básica llamada "grossone", así como lo que él llama una "infinity equipo". El valor matemático de esto parece dudoso pero numerosos artículos han aparecido en publicaciones de investigación en revistas. Por lo tanto, actualmente hay 23 artículos en mathscinet no hablar de las numerosas conferencias en congresos.

En un comentario accesibles de aquí Sergeyev afirma que "Levi-Civita números están construidas utilizando un genérico infinitesimal $\varepsilon$ ... mientras que nuestros cálculos numéricos con un límite, las cantidades se concreta y no genérica." Aquí al parecer "finito" es un error y debe ser "infinito". Cómo es este comentario sobre la diferencia entre Sergeyev del grossone por un lado, y la de Levi-Civita de la unidad en el otro, entendido?

En 2013 artículo, Sergeyev compara su grossone a Levi-Civita en los siguientes términos en la nota de pie de página 5: 5 En la primera vista de los números (7), puede recordar los números de la de Levi-Civita de campo (ver [20]) que es muy interesante e importante precedente de manipulaciones algebraicas con infinitos y infinitesimals. Sin embargo, los dos objetos matemáticos tienen varias diferencias cruciales. Los que se han introducido para diferentes propósitos, por el uso de dos lenguajes matemáticos tener diferentes precisiones y sobre la base de los diferentes fundamentos metodológicos. De hecho, Levi-Civita no hablar de la distinción entre números y numerales. Sus números no tienen ni el cardenal ni ordinal propiedades; se construyen utilizando un genérico infinitesimal y sólo sus poderes racionales están permitidos; él utiliza el símbolo 1 en su construcción; no hay ningún sistema de numeración que permita asignar valores numéricos a estos números; no se explicó cómo sería posible pasar de d un genérico infinitesimal h a una de concreto (ver también la discusión anterior sobre la distinción entre números y numerales). De ninguna manera el dicho más arriba, debe ser considerado como una crítica con respecto a los resultados de Levi-Civita. La discusión anterior ha sido introducido en este texto solo para subrayar que estamos frente a dos diferentes herramientas matemáticas que se deben utilizar en diferentes contextos matemáticos. Sería interesante contar con un especialista en análisis numérico comentario en Sergeyev del uso del término "numérico" para explicar la diferencia entre su grossone y una infinita elemento de la de Levi-Civita de campo.

Sergeyev afirma que su grossone tiene las propiedades de los números ordinales y cardinales. El no dar una definición que asegurarse de tales propiedades, o es esta pretensión meramente declarativa de pronunciamiento?

Tras la publicación de un artículo por Sergeyev en EMS Encuestas en Ciencias Matemáticas, los editores publicó la siguiente aclaración:

Declaración de la junta editorial

Lamentamos profundamente que este artículo aparece en este número de la EMS Encuestas en las Ciencias Matemáticas.

Fue un grave error de aceptar para su publicación. Debido a un lamentable error, el proceso entero de la de papel, incluyendo la decisión de aceptarlo, se llevó a cabo sin el consejo editorial de ser consciente de lo que estaba sucediendo. El consejo editorial por unanimidad se disocia de la presente decisión. No es la representante de muy alto nivel que esperamos ver en nuestra revista, que puede ser evaluado de todos los demás papeles que hemos publicado.

Tanto los editores en jefe han asumido la responsabilidad de estos errores y renunció de su posición. Habiendo dicho esto, hemos de añadir que esta revista no existiría sin su dedicación y años de duro trabajo, y queremos registrar nuestro agradecimiento a ellos.

Un interesante punto de vista de un científico de la computación se desarrolla aquí (así como relacionadas con la discusión de los asuntos legales en los comentarios).

La declaración unánime de la EMS Encuestas de los editores es que ahora se desarrolla en el Zentralblatt revisión y la MathSciNet revisión también está disponible aquí.

Answer 1

No entiendo cuál es la recompensa de esta pregunta es que, como a mí me parece que las otras respuestas eran ya bastante devastador. Aquí es un semi-técnico motivado respuesta.

Según G. Lolli (el papel que cite) "Sergeyev es cauteloso con el sistema axiomático porque él piensa que la adopción de nosotros estaría vinculado a la potencia expresiva de un lenguaje en la descripción de los objetos matemáticos y conceptos". Matemáticas serias requiere serio la adhesión a las normas generalmente aceptadas de las matemáticas. Tal vez el prof. Sergeyev piensa que él puede superar las limitaciones de formalización mediante la adopción de un no-estándar de la ruta de las matemáticas, pero creo que sería más bien la sospecha de que la ruta le llevará atrás en el tiempo y mucho más cerca (un tipo malo de la filosofía de que la mayoría de los matemáticos se sientan cómodos.

Respecto a la formalización de G. Lolli, no veo ninguna diferencia entre lo que se hace en el papel y no estándar de la aritmética. Un grossone $G$ es axiomatized por la infinidad de axiomas $0 < G$, $1 < G$, $2 < G$, ... que es exactamente cómo se puede conseguir no estándar de la aritmética de ir. El documento no menciona siquiera no estándar de la aritmética. Esto es lo que usted consigue para la publicación de la lógica de artículos en revistas de matemáticas.

Así que, me parece a mí que grossones son un objetivo en movimiento confuso y confundido contenido matemático, hasta que uno de pines de abajo con una precisa definición matemática, sólo para descubrir que no son nuevos en absoluto.

Actualización: se señaló que ninguna de las respuestas ha comentado en la parte computacional de la grossone teoría. Tenía una mirada en tres artículos, que se encuentra en el infinito de la computadora sitio web:

1. El papel recomendado para empezar, es Sergeyev Ya.D. (2010) Lagrange Conferencia: "la Metodología de los cálculos numéricos con los infinitos y infinitesimals, Rendiconti del Seminario Matematico dell'Università e del Politecnico di Torino, 68(2), 95-113. Tiene un montón de descripciones informales y la filosofía, algunos ejemplos ilustrativos, pero nada de lo que en realidad iba a describir una nueva y revolucionaria forma de la computación. Más bien, parece que las ideas que podrían conducir a la re-invención de la no-estándar de la aritmética.

2. Sergeyev Ya.D. (2016) La exacta (hasta infinitesimals) infinito perímetro del copo de nieve de Koch y su área finita, las Comunicaciones en la Ciencia no Lineal y Simulación Numérica, 31(1-3):21-29. He probado este papel debido a que el título prometió que sería un resultado concreto en ella. Hay, por supuesto, pero de nuevo la teoría de la computación subyacente el método no está bien explicado. Hay ejemplos y analogías que de nuevo alusión a algo como no estándar de la aritmética.

3. Sergeyev Ya.D. (2015) Cálculos con grossone basado infinitos, C. S. Calude, M. J. Dinneen (Eds.), Proc. de la 14 ª Conferencia Internacional "no Convencionales de Cálculo y Natural de la Computación", Lecture Notes in Computer Science, vol. 9252, Springer, 89-106. Un patrón empieza a emerger. Cada documento contiene una muy larga introducción a la filosofía y las ideas acerca de grossones, apoyado por ejemplos ilustrativos, pero no hay una clara explicación de lo que está pasando.

Los tres trabajos presentan un sistema ecuacional para grossones, es decir, cosas como la asociatividad, conmutatividad, y otras ecuaciones que uno esperaría. Una persona inteligente puede utilizar estas para simplificar expresiones y por lo tanto de "calcular" los resultados. Pero un modelo computacional que requiere de una descripción de un general procedimiento para la realización de los cálculos, lo que sea. Hay un método para la normalización de expresiones relacionadas con grossones? O tal vez una máquina abstracta se puede ejecutar? O algo más?

Supongo que el infinito ordenador se esconde en la patente. No sabremos nunca. Y ahora he desperdiciado más tiempo a esto que a los 50 puntos de recompensa vale la pena. Si alguien puede que me señale en una descripción real de un modelo computacional (ya sea "axiomático" o no), que no se compone de una serie de analogías y las buenas ideas, me podría echar otro vistazo.

Answer 2

En mi artículo sobre Grossone, señalo que la lógica de este formalismo es idéntica (en mi versión) a usar$1 + x + x^2 + ... + x^G$ como SUMA FINITA con$G$ un entero positivo genérico. Entonces se puede manipular la serie y observar el comportamiento limitante en muchos casos. No hay necesidad de invocar ningún concepto nuevo sobre el infinito. Este punto de vista puede estar en desacuerdo con las interpretaciones de Yaroslav para su invención, pero sugiero que esto es lo que está sucediendo aquí.

Answer 3

Lo que yo hice en mi artículo sobre Sergeyev del Grossone que ha sido mencionado en la discusión fue el de presentar un axiomatised teoría de la aritmética en el lenguaje de la aritmética de Peano aumentada con una nueva constante para Grossone. Lo hice porque muchos colegas parecía pensar que Sergeyev el enfoque de no respetar las normas aceptables de matemática de la exposición. En mi teoría que se me mostró que Sergeyev son los axiomas de comprobada mientras yo sostenía que se respeten Sergeyev de outlook expresa en su llamado (por él) postulados. El principal resultado es que la teoría es un conservador de extensión de la aritmética de Peano, que es la que se demuestra que es el mismo oraciones en el idioma sin Grossone; por lo tanto Sergeyev teoría, si mi teoría es fiel a su espíritu, en constante si la aritmética de Peano es consistente.

Por otra parte, esta debe mostrar que Sergeyev métodos, al menos en cuanto a sus aritmética parte, son algo diferente forma no estándar de análisis. Para discutir no estándar de análisis no es fácil, ya que uno debe ser preciso en lo que significa; existen diversos enfoques, entre los cuales los de Nelson Interna de la Teoría de conjuntos IST es, probablemente, el más suave. Pero cualquier teoría para no métodos estándar debe ser más fuerte que Sergeyev, dado que estos métodos no parecen ser un conservador de la extensión de los clásicos; una de las necesidades, ya sea de la tercera orden de la lógica o fuertes presunciones sobre la existencia de especial ultrafilters. En Sergeyev la teoría de que no hay transferencia de principio, y así sucesivamente.

Hay otro papel que podría estar interesado en:

F. Montagna, G. Simi y A. Sorbi, Tomando el Pirahã en serio, la Comunicación en la Ciencia no Lineal y Simulación Numérica, 21(1-3), de abril de 2015, 52-69.

Aquí, los autores de profundizar más en la lógica de uso de Grossone en relación a predicativo de la aritmética.

Andrej Bauer frecuentes en los comentarios:

"Podría usted comentar sobre cómo su resultado está relacionado con los resultados por Kreisel no estándar de la aritmética de ser conservador sobre la PA? Véase, por ejemplo, La proposición 2.3 en jstor.org/stable/2274260 y la referencia a Kreisel en ella? (No puedo encontrar un enlace directo a Kreisel, lo siento.)"

Nuestros resultados son bastante similares, también en la prueba, por la compacidad y el ajuste de los modelos. Pero al mismo tiempo creo que mi teoría puede ser considerada una justa interpretación de Sergeyev de outlook, es dudoso que Kreisel s *PA puede ser considerado como un fiel marco para no estándar de la aritmética. Los autores del documento mencionado en el comentario, Henson, Kaufmann y Keisler después de recordar brevemente Kreisel del resultado (de hecho la primera en esta línea) siga diciendo que la mayoría de los no estándar de la aritmética de los resultados dependen del uso de omega1 saturado de modelos, y discutir un posible fortalecimiento de la teoría a la aproximación de las propiedades de estos modelos.

No estándar de matemáticas es más ambicioso que Sergeyev del computacional de interés, y requiere, en consecuencia, más fuerte principios lógicos. A mí me parece que en la actualidad no existe un consenso en que la formalización de estos principios, pero tal vez por Nelson de la teoría de conjuntos.

Gabriele Lolli

Answer 4

Una rápida búsqueda en la web se encuentra una buena cantidad de citas y análisis, por ejemplo, http://arxiv.org/pdf/1401.7545v2.pdf

No he leído mucho de él, pero me recuerda surrealista números, tanto en el sentido de ser un sistema de computación con el infinito y lo infinitesimal cantidades, y de ser un matemáticamente legítimo y concepto interesante pero que no ha tenido realmente consecuencias de largo alcance hasta ahora AFAIK.

Agregó: he aquí una no tan favorable reseña:

• https://www.researchgate.net/profile/Semen_Kutateladze/publication/226817008_A_pennorth_of_grossone/links/00b7d51b130fb73111000000.pdf

Answer 5

Me gustaría resumir algunas de las conclusiones relativas a las matemáticas de la Sergeyev del grossone.

(1) Sergeyev la escritura parece contener la confusión entre las nociones de ordinal y los números cardinales. Estos son los mismos que en el caso finito, pero él postula que su grossone tiene propiedades tanto de los números ordinales y cardenales. Esto ciertamente suena muy interesante. Sin embargo, él no dar justificación alguna para este tipo de cosas.

(2) Sergeyev la postulación descansa en el nivel de una declarativa pronunciamiento en lugar de un desarrollo matemático. Tal vez su la intención es desarrollar un nuevo fundamento matemático, pero si para él proporciona muy poca explicación. Algunos de sus comentarios que aquí se ven mucho como estudiante de primer año de cálculo de errores.

(3) Un número de expertos han puesto de relieve en este MO discusión que todo lo que parece ser la novela en Sergeyev afirmaciones es subsumida bajo no estándar de los modelos de la aritmética. Por lo tanto, no hay nada nuevo aquí excepto por una negativa a proporcionar todos los detalles, como se observó por varios los participantes en la discusión. Está bien para popularizar ideas relacionados con el infinito y infinitesimals. Donde se convierte en un problema es cuando el trabajo de otras personas se presenta como su propio entendimiento.

(4) Sergeyev en repetidas ocasiones ha implicado que se ha sustituido el Cantor del la teoría de conjuntos, y hace varios reclamos basados en las matemáticas griegas a la efecto de que el todo es mayor que la parte. Esta es también la mera la postura de su parte, y se mantiene en el nivel declarativo pronunciamiento que puede apelar a las masas, pero no impresiona los matemáticos que esperan una explicación en lugar de la declaración.

(5) Específicamente con respecto a la numerosidad, tenga en cuenta que todos los de Sergeyev del trabajo en el infinito es posterior a la de di Nasso et al. (2003). Sergeyev afirma que su teoría es diferente, pero es sólo diferentes en que, a diferencia de di Nasso, él no justificar cualquiera de sus las reclamaciones.

(6) observaciones Similares se aplican a Sergeyev repetidas comparaciones de su propio "marco" con Robinson, con el último invariablemente sale busca inferior.

(7) a Veces Sergeyev afirma que su grossone es parte de $\mathbb{N}$; en otras ocasiones afirma que su grossone es el número de elementos en $\mathbb N$. Si la circularidad de esto puede molestar a algunas personas que no parecen incluir Sergeyev a sí mismo.

(8) Varios críticos para mathscinet han señalado que la inundación de publicaciones procedentes de Sergeyev es repetitous y de dudosa calidad. Véase, por ejemplo, una reciente revisión realizada por Leon Harkleroad en http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=3328558

(9) Sergeyev, hace una distinción entre "número" y "número". Hay un montón de palabras en sus escritos sobre esta distinción y un mucho parece depender de él. Ahora es cierto que un número real es en sí no aplicable en el equipo, y uno tiene que trabajar con uno o otra representación, sea decimal de números o de alguna otra forma. Esto es cierto y es obvio. Yo no era capaz de discernir cualquier significado adicional más allá de lo expuesto en el flou artistiquehábilmente hecho de sobres de esta distinción en Sergeyev la escritura.

(10) Sergeyev, traza la historia del compromiso humano con el número sistemas de Pirahã a Cantor a Sergeyev a grandes rasgos:

"Con respecto a nuestra metodología, la matemática de los resultados obtenidos por Pirahã, el Cantor, y los que se presentan en este documento no se opongan a cada uno de los otros."

(consulte la página 594 en http://www.mii.lt/informatica/pdf/INFO725.pdf) Uno se pregunta acerca de la eficacia de la explotación de los Pirahã para "motivar" a la grossone o cualquier otra forma de infinito.

El análisis anterior de Sergeyev del "numérico infinito" fue presentado en forma más detallada en esta 2017 publicación en las Bases de la Ciencia.

Sergeyev desde entonces ha publicado este febrero de 2018 refutación en el arXiv.