Hice esta pregunta en el NMBRTHRY lista de correo 17 de febrero de 2014, pero sigue sin resolverse hasta donde yo sé.
Recordemos que un "potente número" es un entero positivo cuyo primer factorizations $m = \prod_i p_i^{e_i}$ tiene cada exponente $e_i \geq 2$. (Equivalentemente, $-$ aunque por lo general de poco uso $-$ un entero positivo es potente si y sólo si puede ser escrito como $m^2 n^3$ para algunos enteros $m,n$.) Reflexionando sobre esto Mathoverflow pregunta me llevó a preguntar:
¿Cuál es el menor número poderoso que puede ser escrito como $x^4+y^4$ con $\gcd(x,y) = 1$?
En particular, es $3088257489493360278725196965477359217 = 427511122^4 + 1322049209^4$?
El mcd es condición necesaria para la razón habitual: si $x^4+y^4$ es poderoso lo es $(cx)^4+(cy)^4$, pero a la inversa falla, y, de hecho, cualquier número $m$ puede ser hecho poderoso por multiplicar por algunos $c^4$ (decir $c=m$ sí); no estamos interesados en ejemplos como el de $17^4 + 34^4 = 17^5$.
Hay sólo dos veces como muchos poderosos números de $m \leq x$ como hay plazas [la relación real es $A = \zeta(\frac32)/\zeta(3) = 2.17325+$, y si hice este derecho, el recuento es dado más precisamente, por $A x^{1/2} - B x^{1/3} + o(x^{1/6})$, donde $B = -\zeta(\frac23)/\zeta(2) = 1.48795+$, y el $o(x^{1/6})$ se $o(x^{1/12+\epsilon})$ bajo la Hipótesis de Riemann; pero todo esto es tangencial a la pregunta en cuestión].
Por lo tanto, como plazas, esperamos que sólo un número finito de ejemplos de coprime $x,y$ para que $x^5+y^5$ es poderosa, pero haceresperar $x^4+y^4$ a ser de gran alcance para un infinito aunque disperso conjunto de coprime pares de $(x,y)$. Cierto, Fermat demostró que no existen soluciones de $x^4 + y^4 = z^2$; pero hay enteros $m$ para el cual la curva elíptica $x^4 + y^4 = mz^2$ tiene un número infinito de puntos racionales, y de hecho podemos usar este tipo de curvas para encontrar potentes $x^4 + y^4$: calcular las soluciones de $x^4 + y^4 = mz^2$ , hasta encontrar uno para que $z$ es divisible por cada primer factor de $m$. Por ejemplo, $m=17$ finalmente se obtiene $$ 427511122^4 + 1322049209^4 = 17 \cdot 426218494746902449^2 = 17^3 \, 73993169^2 \, 338837713^2. $$ Este es el más pequeño ejemplo que he encontrado, pero este método no es necesario encontrar soluciones de "$x^4 + y^4 = $ poderoso" con el fin de el aumento de tamaño, y no veo cómo organizar una búsqueda exhaustiva que seguramente podría encontrar el más pequeño de ejemplo si no es mucho menor de la solución anterior (para que $x^4 + y^4 \doteq 3 \cdot 10^{36}$). Para lo que vale, la de Google, no los reconoce.
Por cierto, es mucho más fácil para buscar valores de $x^4 - y^4$ (de nuevo con $\gcd(x,y)=1$), debido a que $x^4-y^4$ factores, y cada uno de los factores $x+y$, $x-y$ debe ser potente, excepto posiblemente para una perdida de potencia de $2$. Esto significa que tratar todos los $(x,y)$ con $x+y \leq H$ toma tiempo proporcional a $H$. Por ejemplo, se tomó un poco más de 6 horas de gp el cálculo para encontrar que $$ 10113607^4 - 4319999^4 = 6 \cdot 41056761311940^2 = 2^5 \, 3^3 \, 5^2 \, 11^2 \, 23^2 \, 37^2 \, 47^2 \, 313^2 \, 4969^2 $$ es el único ejemplo con $x+y \leq 10^8$, aunque $x^4 - y^4$ es todavía muy grande (poco más de $10^{28}$). Este ejemplo se sabe que Google, pero sólo como una solución de $x^4-y^4=6z^2$, con nada acerca de $6z^2$ siendo poderosos, ni hablar de su ser el primer ejemplo.
