Me acabo de dar cuenta que mi comentario responder completamente el caso de un Cartesiana cerrada categoría con finito de co-productos, y no solamente grandes categorías. Así que voy a postear como una respuesta.
La versión corta es que los conjuntos que se puede salir de un Cartesiana cerrada categoría como $\mathrm{Hom}(1,1 \amalg 1)$ son exactamente las álgebras Booleanas, por lo que la única finito cardenales que te dan son las $2^n$ y todos infinito cardenales se puede obtener.
Aquí está la versión más larga, con mucho detalle:
Deje $C$ ser un Cartesiana cerrada categoría con finito de co-productos. Como los productos que están a la izquierda adjunto, viajan a colimits, en particular, co-productos, de modo que uno tiene canónica isomorphisms:
$$ \left( A \times X \right) \amalg \left( B \times X \right) \overset{\sim}{\rightarrow} \left( A \amalg B \right) \times X $$
En particular:
$$ (1 \amalg 1) \times (1 \amalg 1) \simeq 1 \amalg 1 \amalg 1 \amalg 1 .$$
Esto permite definir todas las "operaciones lógicas" $\vee$, $\wedge$, $\Rightarrow , \dots $ : $(1\amalg 1)^2 \rightarrow (1 \amalg 1)$, simplemente usando la característica universal de la subproducto de arriba (una de ellas solo tiene que especificar los valores de estas funciones en los cuatro sumandos, lo que básicamente significa dar su tabla de verdad) y el uso que de manera más general:
$$ (1 \amalg 1)^n= \coprod_{2^n} 1 $$
uno puede comprobar que cumple con todos los esperaba en las relaciones (precisamente, de todas las relaciones que se pueden comprobar en finitos tablas de verdad). Esto hace exactamente $(1 \amalg 1)$ en un álgebra de boole objeto en $C$.
En particular:
La proposición :
En un Cartesiana cerrada en la categoría C, para cualquier objeto $X$, la $\mathrm{Hom}(X, 1 \amalg 1)$ tiene la estructura de un álgebra Booleana. En particular, $\mathrm{Hom}(1, 1 \amalg 1)$ es un álgebra Booleana.
Ahora, por el contrario, si empiezo con cualquier álgebra de boole $B$, que puedo considerar su Piedra espacio de $X$, que es un espacio topológico, de tal manera que, entre otras cosas, el álgebra Booleana de clopen subconjuntos de $X$ se identifica con $B$.
En un topos de la gavilla $\mathrm{Sh}(X)$, $1 \amalg 1$ es la gavilla de localmente constante de funciones con valores en $\{0,1\}$, es decir, de clopen subconjuntos: las secciones de $1 \amalg 1$ sobre el subconjunto $U$ son exactamente clopen subconjuntos de $U$. Así, en particular, en $\mathrm{Sh}(X)$,
$$ \mathrm{Hom}(1, 1 \amalg 1) \simeq B .$$ , Por tanto:
La proposición :
Cualquier álgebra de boole $B$ aparece como $\mathrm{Hom}_C(1 , 1 \amalg 1)$ para $C$ Cartesiano cerrado categoría, de hecho para el topos de Grothendieck $C =\mathrm{Sh}(\mathrm{Stone}(B))$.
Así que al final los conjuntos se puede obtener de esta construcción son exactamente el álgebra Booleana. Todos finito álgebras Booleanas son atómicas, así que de la forma $\mathcal{P}(\{1,\dots,n \})$. En este caso la Piedra espacio es $\{1,\dots,n \} $ con la topología discreta y este es el ejemplo que se menciona en la pregunta. Pero debido a la Lowenheim-Skolem teorema, hay álgebras Booleanas de cualquier cardinalidad infinita.
