Granville y Stark (Invent. Math. 139 (2000), 509-523) demostraron que una versión uniforme de la conjetura abc para campos numéricos elimina los ceros de Siegel para$L$ - funciones asociadas con caracteres cuadráticos de discriminante negativo. ¿La prueba recientemente anunciada por Mochizuki de la conjetura abc cubre esta afirmación?
Respuesta
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Yo no lo creo. Mochizuki afirma haber demostrado un diophantine resultado para los puntos de limitada grado, mientras que usted necesita de forma uniforme de la conjetura ABC para la aplicación que usted menciona.
EDIT: Sobre tu pregunta a continuación, en la versión de la conjetura ABC afirmó en Mochizuki del trabajo, se establece claramente en el Teorema de la 4ª papel. De todos modos, para el beneficio de las personas que puedan leer esta pregunta, voy estado en muy elemental en términos de un corolario del Teorema en el siguiente contexto: X es la línea proyectiva con la habitual proyectivas de coordenadas [x:y], y D es el divisor $[0:1] + [1:0] + [1:1]$, lo que hace que la curva U=X\D hiperbólico (el grado del divisor canónico $\omega$ de X en este caso es -2 y el grado de D es 3, por lo tanto el grado de $\omega(D)$ es de 1>0). Ok, aquí es el corolario (la notación que se explica a continuación):
Declaración: Vamos a $d$ ser un entero positivo y deje $\epsilon>0$. Hay una constante $C>0$, dependiendo únicamente de la $d$ e $\epsilon$ de manera tal que se cumple lo siguiente: Si $A,B$ son no-cero de números algebraicos con $A+B=1$, y si el grado más Q de el campo de número de $K=Q(A)$ es en la mayoría de d, entonces tenemos $H(A,B,1) < C(\Delta_K N_K(A,B,1))^{1+\epsilon}.$
Notación: Aquí estoy usando la misma definición de $\Delta_K$, H(a,b,c) y $N_K(a,b,c)$ como en el papel de Siegel ceros de la pregunta (esta notación se explica en la primera página de este documento). Bueno, si usted compruebe la referencia vas a ver que en realidad hay una diferencia: el papel de los usos N(a,b,c), no $N_K(a,b,c)$. Sin embargo, en la declaración anterior es crucial que debemos calcular N(a,B,1), utilizando el número de solicitudes registradas K=Q(a), por eso he añadido este subíndice.
Espero que los lectores pueden ver la diferencia entre esta versión y el uniforme de la conjetura ABC, el periódico de Siegel ceros: el hecho de que aquí la constante C depende también de la d, no sólo a $\epsilon$.
Una última observación trivial. Para obtener la clásica de la conjetura ABC con coprime enteros a+b=c de tomar a=a/c, B=b/c y por lo tanto K=Q, que hace que $\Delta_K=1$, y N(a,B,1)=rad(abc).
