Álgebra lineal en términos de sinsentido abstracto?

Question

Las categorías de espacios vectoriales y finito dimensionales espacios vectoriales son casi tan bonito como puede ser, creo.

Me preguntaba qué partes básicas de álgebra lineal (primer par de cursos de otoño diciendo "grande"(er) palabras, y también lo estándar hechos admitir una clarificación categórica en el fraseo.

¿Cuáles son algunos ejemplos interesantes de los hechos acerca de los espacios vectoriales lineales y mapas que admitir que una buena formulación categórica?

Edit. Yo no estoy buscando (completamente) de las cosas elementales como definiciones de universal construcciones por propiedades universales en lugar de hormigón ad hoc realizaciones, aunque no puedo pensar en ninguna "nonelementary" las cosas. Si usted escribe un elemental de la propiedad de la categoría de los vectores de espacios, e.g una propiedad de cualquier abelian categoría, por favor, dar algunos buenos ejemplos de donde presta su poder.

Answer 1

En mi opinión hay dos clases de interesante categórica hechos aquí, a grandes rasgos "aditivo" los hechos y "multiplicación" de los hechos. Algunos de los aditivos de los hechos:

1. Finito-dimensional espacios vectoriales sobre $k$ ha biproducts, y que cada objeto es un finito biproduct de copias de un solo objeto, a saber,$k$. Las categorías con esta propiedad son precisamente las categorías de rango finito libre de los módulos a través de un semiring $R$ (el endomorphisms de el solo objeto). Estos biproduct descomposiciones encapsular tanto la idea de que los espacios vectoriales tienen bases y que una elección de bases puede ser utilizado para escribir lineal mapas como matrices.

2. El solo objeto de $k$ anterior es simple, y por lo que cada objeto es un finito biproduct de objetos simples. Las categorías con esta propiedad, además de a 1, son precisamente las categorías de rango finito libre de los módulos a través de una división semiring $R$.

Tenga en cuenta que el aditivo hechos no pueden ver nada acerca de los campos de ser conmutativa. El multiplicativo de los hechos:

3. Finito-dimensional espacios vectoriales sobre $k$ es monoidal simétrica con respecto al producto tensor, y también está cerrado monoidal y ha duales (a veces llamado compacto cerrado). Esta observación se encapsula el yoga de los alrededores de tensores de diversos tipos (por ejemplo, endomorphisms $V \to V$ corresponden a elementos de $V \otimes V^{\ast}$), así como la existencia y propiedades básicas (por ejemplo, simetría cíclica) de la traza.

4. El solo objeto de $k$ anterior es el tensor de la unidad, y así cada objeto es un finito biproduct de copias de la unidad. También, la estructura monoidal es aditivo en cada variable. Creo, pero no he revisado cuidadosamente, que el (monoidal simétrica) categorías con esta propiedad, además de 1 y 2 anteriores, son precisamente los (monoidal simétrica) categorías de rango finito libre de los módulos a través de un conmutativa de la división de semiring ("semi-campo") $R$. Esto encapsula la descripción concreta del tensor de productos como un functor en términos de productos de Kronecker.

Hay muy poco para decir tan lejos como campos anillos frente a semirings, aunque. Esto sobre todo se torna relevante cuando reducimos la informática (co)ecualizadores de informática (co)núcleos restando morfismos, como en cualquier abelian categoría.

Edit: no he mencionado el determinante todavía. Esta mezcla de aditivos y multiplicativos: de manera abstracta la cuestión es que tenemos una natural gradual isomorfismo

$$\wedge^{\bullet}(V \oplus W) \cong \wedge^{\bullet}(V) \otimes \wedge^{\bullet}(W)$$

donde $\wedge^{\bullet}$ denota el exterior álgebra (que necesitamos el monoidal simétrica estructura, junto con la existencia de ciertas colimits, describir). De ello se sigue que si $L_i$ son objetos que tienen la propiedad de que $\wedge^k(L_i) = 0$ para $k \ge 2$ luego

$$\wedge^n(L_1 \oplus \dots \oplus L_n) = L_1 \otimes \dots \otimes L_n.$$

Combinado con los hechos por encima de esto le da a la existencia y propiedades básicas de los determinantes, más o menos. Tenga en cuenta que el exterior de álgebra puede ser definido por una característica universal, pero para comprobar que el estándar de la construcción tiene esta característica universal necesitamos la monoidal simétrica estructura de distribuir a través de finito colimits. Afortunadamente, esto está implícito en el compacto de cierre.

Answer 2

Qiaochu la respuesta de captura muy bien el ordinario categórica aspectos de la categoría de $\mathbf{Vect}_k$ finito-dimensional espacios vectoriales sobre $k$; sólo voy a agregar algunos homotopy de la teoría de los comentarios que me parece interesante.

Me gusta mucho el hecho de que podemos pensar en un vector de paquetes de la siguiente manera: para un campo topológico $k$, la categoría de $\mathbf{Vect}_k$ es cerrado monoidal, y por lo tanto también se enriqueció a lo largo de $\mathbf{Top}$, la categoría de espacios topológicos. Así, podemos considerar $\mathbf{Vect}_k$ como $(\infty,1)$-categoría, y el vector de paquetes de más de un espacio de $X$ corresponden a functors $X\to\mathbf{Vect}_k$; esto es exactamente análoga a cómo Grothendieck opfibrations $E\to B$ corresponden a pseudofunctors $B\to \mathbf{Cat}$ (y coCartesian fibrations de quasicategories generalizar estos dos ejemplos).

Para poner las cosas en perspectiva, esto es realmente lo que está pasando cuando tenemos en cuenta la clasificación de los espacios de $BO(n)$ o $BU(n)$ (recordemos que homotopy clases de mapas de $X\to BO(n)$ clasificar a $n$-dimensiones reales del vector de paquetes de más de $X$ y de manera similar con $BU(n)$ para el vector complejo paquetes). Recordar que los espacios se $\infty$-groupoids. Si $X$ está conectado, entonces es una $\infty$-groupoid con sólo un objeto (arriba a la equivalencia), por lo que un functor $X\to\mathbf{Vect}_k$ se define en los objetos sólo por la elección de un único objeto $V\in\mathbf{Vect}_k$, y podemos considerar functors $X\to\mathcal{V}$ donde $\mathcal{V}$ es el total de sub-$\mathbf{Top}$-categoría de $\mathbf{Vect}_k$ con $V$ como su único objeto. Y debido a que $X$ es $\infty$-groupoid, cualquier functor factores a través de $\mathrm{Core}(\mathcal{V})$ donde $\mathrm{Core}(\mathcal{V})$ es la subcategoría de $\mathcal{V}$ de automorfismos de $V$. Cuando volvemos a pensar en el $\infty$-groupoid $\mathrm{Core}(\mathcal{V})$ como un espacio, acabamos con $BO(n)$ o $BU(n)$ (para los reales y complejos espacios vectoriales de dimensión $n$ respectivamente).

Answer 3

Mi ejemplo favorito: Construir el functor $\Lambda^n : \mathsf{Vect}_k \to \mathsf{Vect}_k$. Mostrar que $\Lambda^n(V)$ es de dimensión $\binom{d}{n}$ al $d$ es la dimensión de la $V$ (esto fue aproximadamente explica por Qiaochu Yuan). En particular, $\Lambda^d(V)$ es $1$-dimensional. A la conclusión de que $\Lambda^d$ induce un multiplicativo mapa de $\mathrm{End}(V) \to \mathrm{End}(\Lambda^d(V)) = k$ y lo llaman el determinante ... En este enfoque, la multiplicativity de el determinante de la siguiente manera a partir de la functoriality de $\Lambda^n$, y el último es trivial. También, la prueba de que $\Lambda^d(V)$ es $1$-dimensional puede ser usado para derivar la fórmula de Leibniz para el determinante de una matriz.