Objetos matemáticos paradójicos pendientes de construcción

Question

Las posibles propiedades y aplicaciones de algunos objetos matemáticos se han descrito mucho antes de su rigurosa definición matemática. Algunos de ellos incluso tenían un aparentemente paradójico descripción que les impidieron existente en el momento.

Un ejemplo emblemático es el número imaginario, $i$, que fue originalmente descrito como $\sqrt{-1}$. Sin embargo, más avances en el campo y la exploración de nuevas perspectivas hacia el sujeto que finalmente condujo a una rigurosa no-contradictoria definición matemática de la $i$. Una definición que sirve como formal de la introducción de la (ya existente) concepto a la matemática de la literatura, mientras que la satisfacción de todas sus propiedades requeridas.

Intentos similares se han llevado a cabo a lo largo de las líneas de proporcionar una sólida base formal para la aparentemente paradójica conceptos tales como la negativa de probabilidad o de conjuntos con un número negativo de elementos (véase también multisets):

Loeb, D., Conjuntos con un número negativo de elementos, Adv. de Matemáticas. 91, Nº 1, 64-74 (1992). ZBL0767.05005.

Otro ejemplo contemporáneo de tales paradójico objetos matemáticos que están pendientes de una definición rigurosa es el llamado "campo con un solo elemento". Naturalmente aparece en varias ocasiones y se relaciona con diferentes conceptos. Por ejemplo, un grupo puede ser visto como un álgebra de Hopf sobre el "campo con un solo elemento". Ver también esta relacionada con MO pregunta para obtener más información.

Pregunta. Estoy buscando más ejemplos de profundas y útiles conceptos matemáticos con contradictoria descripciones que no son rigurosamente definido aún (o al menos no tienen ampliamente aceptada la definición formal). Las referencias a sus posibles aplicaciones también son bienvenidos.

Observación. Me gustaría destacar la inicial paradójico descripción de las posibles respuestas a esta pregunta. El punto importante es que la apariencia natural de la paradójica objetos a menudo indica la urgente necesidad de una profunda expansión de nuestra matemática cosmovisión o esencial de la mejora de las bases.

Answer 1

Las integrales de ruta son un ejemplo estándar. Las integrales de ruta rigurosas se pueden formular en muchos casos, pero todavía no existe un enfoque completamente general para las integrales de ruta que satisfaga tanto a los físicos como a los matemáticos.

Answer 2

Este artículo de Parisi presenta los siguientes dos objetos:$r$ - espacio euclidiano dimensional para$r$ no un número entero, y el espacio de transformaciones lineales en ese espacio (=$r\times r$ matrices con entradas reales). Parisi sostiene que se trata de ideas que deberían tener sentido, pero que aún no lo tienen.

Answer 3

La auto-evitar caminar era famoso analizado por de Gennes el uso de una generalización del modelo de Ising conocido como el $N$-modelo vectorial. Tomando el límite de $N\to 0$, obtuvo resultados de la auto-evitar caminar. Sin embargo, no se conoce ninguna manera de hacer que este argumento riguroso, en parte debido a $N$ es un número entero y no está claro cómo rigurosamente permitir $N\to 0$. El significado de la $N$-modelo vectorial al $N$ no es un número entero puede ser pensado como una "paradójica" de objetos. Para obtener más información, consulte la Sección 2.3 de La Auto-Evitar Caminar por Neal Madras y Gordon Slade.

Answer 4

Grothendieck supuso la teoría de los motivos hace 50 (?) Años, pero la gente todavía está tratando de descubrir qué es. Sin embargo, no estoy seguro de si hay "paradojas" involucradas.

Answer 5

Los derivados fraccionales se han definido y encontrado útiles en algunos contextos.