Creo que la solución de 10 es óptimo. Esta no es la solución, pero estoy bosquejando una prueba que espero terminar pronto.
Echemos un vistazo a las partes de que la solución óptima podría tener. Va sin la prueba de que cada punto es, al menos, en un triángulo en algunos de la solución óptima. De ello se sigue casi inmediatamente de que al menos un cuadrilátero que consta de dos triángulos que tienen dos puntos en común que es parte de la solución (mediante la adición de un punto para el triángulo:
top
/\
/ \
---- side
\ /
\/ the quadrilateral, consisting of two triangles, needs to appear in the solution.
Es fácil ver que la solución óptima NO tiene otro punto añadido a este cuadrilátero en la unidad de distancia desde el 2 de estos puntos. Iba a crear este trapecio donde te gustaría añadir un punto:
/\
/ \
----\
\ / \
\/___\ the trapezium cannot be part of the solution
La razón de que esto no puede ser parte de la solución, es que allí donde agregar otro punto, luego ya tenemos 3 puntos en la no-unidad de distancia uno del otro y esto nos llevará a ninguna parte.
Para algunos la solución óptima consiste sólo de triángulos, tiene el cuadrilátero, pero no tiene el trapecio.
Ahora, vamos a añadir más triángulos. Se puede tener 0 o 1 punto en común con el cuadrilátero, pero no 2.
Primero, vamos a comprobar si dos más triángulos tanto puede tener el mismo punto del cuadrilátero en común. Sin embargo, tenemos que, de los 3 puntos de la no-unidad de distancia el uno del otro y se llevan a ninguna parte (incluso si los dos nuevos triángulos tienen otro punto en común el uno con el otro).
Lo mismo ocurre cuando la adición de dos nuevos triángulos que cada uno tiene otro punto del cuadrilátero en común.
Por desgracia, también es cierto cuando la adición de dos triángulos que tienen uno (en total) o no hay puntos en común con el cuadrilátero, pero al menos estamos añadiendo luego el máximo número posible de puntos para los dos triángulos.
(TBC)
