¿Para qué$n$ hay un solo grupo de orden$n$?

Question

Deje $f(n)$ denotar el número de clases de isomorfismo de grupos de orden $n$. Un par de fácil hechos:

1. Si $n$ no es squarefree, entonces hay varios abelian grupos de orden $n$.
2. Si $n \geq 4$ es par, entonces el diedro grupo de orden $n$ es no-cíclico.

Por lo tanto, si $f(n) = 1$,, a continuación, $n$ es un squarefree número impar (asumiendo $n \geq 3$). Pero el recíproco es falso, puesto que $f(21) = 2$.

Hay una buena caracterización de $n$ tal que $f(n) = 1$? También, ¿cuál es la densidad asintótica de $\{n: f(n) = 1\}$?

Answer 1

$f(n)=1$ si y solo si$\gcd(n,\phi(n))=1$, donde$\phi$ es la función ph de Euler. Estos$n$ están tabulados en http://oeis.org/A003277

El resultado se encuentra en Tibor Szele, Über die endichen Ordnungszahlen, zu denen nur eine Gruppe gehört, Comentario. Matemáticas. Helv. 20 (1947) 265–267, MR0021934 (9,131b).

Answer 2

Deje que$G(x)$ denote el número de$n \leq x$ de modo que exista exactamente la clase de grupos de orden$1$ isomorfismo$n$. Entonces:$$G(x) \sim e^{-\gamma}\frac{x}{\log\log\log(x)} $ $ donde$\gamma$ es la constante de Euler. Este es el resultado de Erdos, Murty y Murty . Su artículo también contiene otros resultados interesantes sobre la distribución de valores de la función de orden de grupo.

Answer 3

La pregunta original ya ha sido respondida, así que pensé en proporcionar una versión un poco más general.

El breve documento http://www.math.ku.dk/~olsson/manus/three-group-numbers.pdf describe aquellas órdenes para las cuales hay exactamente 1, 2 o 3 grupos de la orden dada.

Answer 4

Si $p$ es el más pequeño de primer dividiendo $n$, entonces si $n=pm$ e $p|\phi(m)$ luego existe un semidirect producto de el grupo cíclico de orden $p$ y el grupo cíclico de orden $m$. Por lo $f(n)$ no $1$ por ejemplo $n$. Ahora, dado un primer $p$, la mayoría de los valores de $m$ que son extraño y coprime a $p$ tienen $\phi(m)$ ser un múltiplo de $p$ (todo lo que necesitamos es algún factor principal de $m$ a $1\pmod p$, y suele ser $m$ tienen algunos de estos factores). Dado que la mayoría de los números no se coprime para todos los pequeños primos, esto le dará una prueba de que la densidad de los números con las $f(n)=1$ es cero.

Nota: la Marca de Lewko publicado el interesante referencia a Erdos, Murty & Murty, mientras yo estaba escribiendo la respuesta anterior. La comparación de las respuestas, se puede ver que los números con $f(n)=1$ están estrechamente relacionadas con los números de $n$ tienen ningún factor primo por debajo de $\log \log n$.