Soy supervisor de pregrado proyecto de investigación. Entre otras cosas, tengo el estudiante vistazo a este papel de los Genes Kopp y Juan Wiltshire-Gordon. Esta pregunta surgió de una falta complejo conjugado en algo que el estudiante escribió.
Deje $g$ ser un elemento de un grupo finito $G$, e $w$ una palabra en $n$ variables. Si se evalúa la palabra en todas las $n$-tuplas de elementos de $G$, da $g$ e $g^{-1}$ el mismo número de veces?
Pensé que la respuesta debe ser "no", pero le era difícil y frustrante para venir para arriba con un ejemplo. Después de aprovechar los conocimientos locales parece que yo estaba en lo correcto. Hay un artículo reciente de Alexander Lubotzky que demuestra que, si $G$ es un grupo simple finito, entonces la única restricción sobre un subconjunto $A\subseteq G$ para ser la imagen de la palabra mapa para algunos la palabra en 2 variables es la que contiene la identidad y se fija por $\operatorname{Aut}(G)$. Desde allí son finitos simples grupos (por ejemplo, la Mathieu grupo $M_{11}$) con elementos que no son enviados a sus inversas, por cualquier automorphism, esto responde a la pregunta.
Sin embargo, mi verdadera pregunta es si hay un ejemplo relativamente sencillo?
Lubotzky del papel no dar un explícito de la palabra, aunque sí se muestra que, para $M_{11}$, hay una palabra que funciona con una longitud en la mayoría de los alrededor de $1.7\times 10^{244552995}$.
Presumiblemente, uno puede hacer un poco mejor que eso?
Son evidentes las restricciones en $g\in G$ e $w$ que descartar realmente pequeños ejemplos. No puede haber ningún automorphism de $G$ envío de $g$ a $g^{-1}$ o cualquier automorphism de la libre grupo de $F_n$ envío de $w$ a $w^{-1}$.
