Buenas tapas de colectores

Question

Es bien conocido y fácil demostrar (véase, por ejemplo, este post) que cada liso colector admite una buena cobertura, es decir, un localmente finito cubierta por la apertura de los balones que todas las intersecciones no vacías de los elementos de esta portada son todavía homeomórficos para abrir las bolas. Lo mismo es cierto, en general, para la PL colectores.

Pregunta: ¿todos los topológico $n$-colectores de admitir buena cubre?

Estoy muy curioso acerca del caso de la $n=4$.

Aquí está mi opinión: una buena cobertura está demasiado cerca de un mango de descomposición de gauge de la teoría de obstrucciones a la regla de ellas en la dimensión 4. En las dimensiones superiores, que no tengo ni una conjetura.

Edit: La noción de una buena tapa tiene una homotopy analógica, una homotopy buena cobertura donde el requisito es que todos los elementos de la cubierta y todas sus intersecciones son contráctiles. Aquí hay un par de observaciones sobre la existencia de homotopy buena revestimientos:

1. Cada simplicial complejo, por supuesto, admite una homotopy buena cobertura, en particular, todos topológico colectores que admitir triangulaciones (no necesariamente PL) admitir homotopy buenas coberturas.

2. Muchos (si no todos) simplemente conectado cerrado de 4 colectores de admitir homotopy buena cubre; este es un corolario de la Freedman del trabajo. La existencia de homotopy buena cubre para todos simplemente conectado colectores esencialmente bisagras en el caso de $*CP^2$.

Answer 1

No conozco un resultado general sobre la existencia de buenas cubiertas (y supongo que la respuesta general es negativa). Sin embargo, si estás dispuesto a hacer ciertos sacrificios en términos de hipótesis adicionales y conclusiones más débiles, entonces puedes buscar consuelo en el artículo

RP Osborne y JL Stern. Cubrir los colectores con celdas , Pacific Journal of Mathematics, Vol 30, No. 1, 1969.

Y aquí, para que se pueda consultar, está el teorema principal.

Dejemos que $M$ ser un $k$ -conectados topológicamente $n$ -sin límites, y definir $q = \min(k,n-3)$ . $M$ admite una portada de $p$ abrir las celdas si $p(q+1) > n$ y además, se puede disponer que todas las intersecciones no vacías de las celdas de cobertura sean $(q-1)$ -conectado.

Lo bueno aquí es que se obtiene un límite en el tamaño de la cubierta abierta, pero, por supuesto, las intersecciones no tienen que ser contractibles y se requieren muchos grupos de homotopía de la variedad original para desaparecer.

Answer 2

Una observación sobre el caso de cuatro dimensiones: Cada Abrir topológico $4$ -es suavizable (véase el teorema 8.2 de Freedman/Quinn: Topología de $4$ -manifolds ) y, por tanto, admite una buena cobertura. Por lo tanto, toda topología cerrada y conectada $4$ -manifold $M$ admite una cobertura finita por bolas abiertas $B_1,\dots,B_k$ tal que toda intersección no vacía de $B_2,\dots,B_k$ es homeomorfo a una bola abierta: equipa el complemento de un punto en $M$ con una buena cobertura, cubrir el punto con una bola adicional $B_1$ y luego elegir una subcubierta finita.

No tengo ni idea de si se pueden arreglar las intersecciones con $B_1$ para ser agradable de alguna manera (por ejemplo, conectado). El límite de $B_1$ suele ser muy áspera con respecto a cualquier estructura lisa del complemento en $M$ de un punto en $B_1$ . (El teorema de Osborne/Stern citado anteriormente dice que toda conexión simplemente conectado topológico cerrado $4$ -manifiesto, por ejemplo $*CP^2$ admite una cobertura por bolas abiertas $B_1,B_2,B_3$ Todas sus intersecciones están conectadas).