¿Cómo debe mirar un teórico de números analíticos las funciones de Bessel?

Question

(Y una pregunta relacionada: ¿Dónde debe una analítica número teórico de aprender acerca de las funciones de Bessel?)

Funciones de Bessel ocurren con bastante frecuencia en la teoría analítica de números. Un ejemplo, Corolario 4.7 de Iwaniec y Kowalski, dice lo siguiente. Deje $r(m)$ el número de representaciones de $m$ como dos plazas, y supongamos que $g$ es lisa y compacta, apoyado en $(0, \infty)$. A continuación,

$$\sum_{m = 1}^{\infty} r(m) g(m) = \pi \int_0^{\infty} g(x) dx + \sum_{m = 1}^{\infty} r(m) h(m),$$

donde $$h(y) = \pi \int_0^{\infty} g(x) J_0(2 \pi \sqrt{xy}) dx.$$

$J_0(x)$ es una función de Bessel, y I+K siga con cuatro equivalente integral expresiones -- la equivalencia de que no es en absoluto evidente por su aspecto. Mirando Lema 4.17, la relevancia que parece ser que las funciones de Bessel surgir cuando usted toma las transformadas de Fourier de radialmente simétrica funciones.

Otro ejemplo viene de (3.8) de este trabajo de Miller y Schmid, y la relevancia viene de la identidad

$$\int_0^{\infty} J_0(\sqrt{x}) x^{s - 1} dx = 4^s \frac{\Gamma(s)}{\Gamma(1 - s)},$$

donde la gamma factores provienen de las ecuaciones funcionales de $L$-funciones. Bien, si esto es cierto, entonces entiendo por qué nos preocupamos, pero parecía un poco deus ex machina para mí.

Hay muchos otros ejemplos también, por ejemplo, el Petersson fórmula en la teoría de las formas modulares, etc. Hay $I$-funciones de Bessel, $K$-funciones de Bessel, $Y$-funciones de Bessel, etc., todos los cuales parecen satisfacer a una vertiginosa serie de altamente no trivial de las identidades, y la lectura de Iwaniec y Kowalski uno tiene la sensación de que un experto debe tener la capacidad de reconocer y manipular a la vista. También proporcionan referencias para, por ejemplo, (23.451.1) de un libro por Gradhsteyn y Rizhik, y aunque confieso que no he mirado, me puede inferir, a partir de la fórmula de número que no es el tipo de cosa que podría leer en un aeropuerto de escala.

Mientras tanto, la Wikipedia me dice que ellos surgen de forma natural, como las soluciones de ciertas ecuaciones diferenciales parciales. Se ve muy interesante, aunque me temo que yo no soy un experto en el PDE.

Como una analítica de números teórico, ¿cómo podría yo hacer amigos con estos objetos? ¿Cómo debo mirar a ellos, y qué marcos conceptuales encajan? Gracias!

(ed. Gracias a todos por su respuestas informativas! Yo sólo podía aceptar una respuesta, pero +1 a todos a su alrededor).

Answer 1

Radial de Fourier ofrecen una perspectiva consistente en la mayor parte de la teoría. La transformada de Fourier $\widehat{f}(t)$ de una función de $f \colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ está dado por la integral de la $f(x) e^{2\pi i \langle x,t \rangle} \, dx$ sobre $x \in \mathbb{R}^n$. Si $f$ es una radial de la función (es decir, $f(x)$ sólo depende de $|x|$), entonces podemos radial symmetrize todo y la función exponencial de media a una radial de la función. En concreto, se consigue $$ \widehat{f}(t) = 2\pi |t|^{-(n/2-1)} \int_0^\infty f(r) J_{n/2-1} (2 \pi r |t|) r^{n/2} \, dr.. $$ Los factores exactos son un poco molestos, pero básicamente esto quiere decir $J_{n/2-1}$ es lo que usted consigue cuando usted radialmente symmetrize una función exponencial en $n$ dimensiones. Es fácil ver que si symmetrize $e^{2\pi i \langle x,t \rangle}$ por el promedio sobre todos los $x$ sobre una esfera, a continuación, obtener una radial de la función de $t$, y además como variar el radio de la esfera que acaba de cambiar la escala de la función. Así que la función de $J_{n/2-1}$ captura todo esto, modulo de escala.

Una de las consecuencias es que las funciones de Bessel heredar la ortogonalidad de las funciones exponenciales (es decir, las diferentes escalas son ortogonales), por lo que también heredan todas las consecuencias de ortogonalidad. Por ejemplo, este es el lugar donde la ecuación diferencial viene. Hay una fuerte analogía entre las funciones de Bessel y polinomios ortogonales, donde reescalado de la función de Bessel corresponde a la variación en el grado del polinomio.

Usted también obtener ciertos resultados cualitativos gratis: por ejemplo, el producto de dos funciones de Bessel debe ser una parte integral de funciones de Bessel con coeficientes positivos, ya que esto equivale a decir que el producto de dos radial, positivo-definida de funciones sigue siendo positiva definida. Usted puede escribir los coeficientes de forma explícita, pero a veces todo lo que necesita es nonnegativity, y, en cualquier caso, este punto de vista hace que sea fácil creer que no debe ser una fórmula explícita.

Esto es, básicamente, una baja frente a la versión de la teoría de la representación enfoque. Básicamente, ordinario de Fourier análisis de los estudios de $L^2(\mathbb{R}^n)$ bajo la acción de la traducción de grupo $\mathbb{R}^n$. Si se mira el total del grupo de isometrías de $\mathbb{R}^n$ (incluyendo el grupo ortogonal), entonces es sólo un poco más elaborado, y las funciones de Bessel surgir como zonal esférica funciones. Es la pena de trabajo a través de esta perspectiva, pero en la práctica sólo de pensarlo radial de análisis de Fourier brinda la mayor parte de los beneficios con menos de maquinaria.

Answer 2

Hay muchas, muchas cosas que se pueden decir aquí! Creo que hay dos ligeramente diferentes mecanismos que conjuran funciones de Bessel de varios tipos, a saber, la Euclídea Laplacians y separación de variables, y $SL_2(\mathbb R)$ (ortogonal y grupos de $O(n,1)$) Casimir o de Laplace-Beltrami operador y de separación de variables. El hecho de que no puede haber una mayor variedad de segundo orden ecuaciones diferenciales ordinarias con cierto control y los tipos de puntos singulares se remonta a Riemann.

Una muy tangible de conexión con los pies en la tierra ejemplos de automorphic formas: como la función de $z\rightarrow y^s$ es la esférica vector en un unramified principal de la serie, la integral de la $\int_{-\infty}^\infty e^{-ix} {y^s\over |cz+d|^{2s}}\;dx$ que es el punto de partida para la integral de expresiones para $K$-tipo de funciones de Bessel es la imagen de la forma esférica de vectores $y^s$ debajo de lo obvio (desde el punto de vista de "Mackey teoría") entrelazamiento de que el director de la serie a la Whittaker espacio.

No sólo en la distancia Euclídea caso, pero en general también, muchos "fórmulas" son manifestaciones , ya sea de un modo demostrable único entrelazamiento operador (dado por una integral), o de un teorema de Plancherel para la situación actual.

(El hecho de que Mellin transformaciones de funciones de Bessel (para la transformada de Fourier de las expansiones de formas de onda) se pueden expresar en términos de Gamma no es típico de transformación integral de los métodos en grupos más grandes, por desgracia. El clásico de los cálculos de arquímedes integrales, para Rankin-Selberg, etc., para $SL_2(\mathbb R)$ se lleva a cabo de manera independiente en http://www.math.umn.edu/~garrett/m/v/standard_integrals.pdf, por ejemplo).

El asymptotics son más sistemáticamente comprensible desde el más general de los resultados en asymptotics de soluciones de segundo orden ecuaciones diferenciales ordinarias. El punto singular regular de la teoría es muy antigua, e incluso la buena irregular punto singular caso ha sido esencialmente comprendido desde Poincaré. Resulta que es bastante sencillo heurística seguramente son correctas, y por lo tanto la función como excelente, reglas nemotécnicas. (Escribí algunos ejemplos y pruebas en un estilo más contemporáneo en algunas notas del curso: http://www.math.umn.edu/~garrett/m/mfms/notes_c/reg_sing_pt.pdf, http://www.math.umn.edu/~garrett/m/mfms/notes_c/irreg_sing_pt.pdf, y http://www.math.umn.edu/~garrett/m/mfms/notes_c/frobenius_ode.pdf ... En particular, no se trata de ecuaciones en derivadas parciales, pero acerca de las Odas obtenidos después de varias separaciones de variables).

Answer 3

Para una analítica número teórico de la forma más útil para buscar en funciones de Bessel y relacionados con funciones especiales (por ejemplo, Whittaker funciones o los productos de dos de estas funciones) es a través de su Mellin transforma. El Mellin transformar explica:

(1) la forma de gamma factores en diversos automorphic $L$-funciones

(2) la forma de Voronoi suma (como en tu ejemplo)

(3) el comportamiento de la función de Bessel en cero y en el infinito

(4) la expansión de Taylor de la función de Bessel

La ecuación diferencial es indispensable cuando uno necesita estimar el Hankel-tipo de transformaciones derivadas en (2), o el de Bessel transformaciones que surgen en el Petersson y Kuznetsov fórmulas. Técnicas implican la integración por partes o pasar a la Mellin lado y deformar el contorno.

El estudio de las fórmulas en Gradshteyn-Ryzhik es muy útil para una analítica de números teórico, y aquí me refiero a todo el libro, no sólo las partes con funciones de Bessel!

Para una comprensión conceptual recomiendo la Parte II de la teoría de la Representación y no conmutativa análisis armónico 2 (Enc.De matemáticas.Sci.59, Springer): las Representaciones de la Mentira de los grupos especiales y funciones por Klimyk y Vilenkin.

Answer 4

Desde el punto de vista de la teoría analítica de números, el punto generalmente sería el comportamiento asintótico. Esto generalmente se entiende bien, y está en el libro masivo de Watson. Aparte de eso, sí, numerosas identidades (que no son tan profundas, creo) y una analogía con las sumas de Kloosterman, aunque algunos lo leerían al revés. Una parte de la teoría de funciones especiales que parece bastante explorada.

Answer 5

La expansión en Qiaochu y David, comentarios, desde el punto de vista de automorphic formas y automorphic representaciones, una buena referencia es "Funciones Especiales y la Teoría del Grupo de Representaciones", por N. Ja. Vilenkin y publicado por la AMS.

"Funciones especiales" por Andrews, Askey, y Roy publicado por la COPA es otra buena referencia con un anayltic número de la teoría de la inclinación.

EDIT: El punto aquí es que para que un grupo finito $G$ y una representación $\pi$ a de un número finito de dimensiones de espacio vectorial $V$ con base ortonormales $\{\vec{e_i}\}$, la función de $g\to \langle \vec{e_i},\pi(g)\vec{e_j}\rangle$ da $i,j$ coeficiente de la matriz asociada a $\pi(g)$ o "matriz de coeficiente de la función". Para una Mentira grupo $G$ con un infinito dimensional representación $\pi$ en un espacio de Hilbert $H$, hay un análogo natural, y las funciones que surgen de esta manera jugar obviamente un papel importante en el análisis armónico en $G$. Funciones de Bessel puede ser interpretado de esta manera.