¿Qué son realmente las D-branas?

Question

En los últimos años, he leído muchas palabras relacionadas con "D-branes" sin sentir que las he comprendido completamente. En términos generales, creo que entiendo de qué se trata: se supone que sirven como hábitats para los extremos de cuerdas abiertas y pueden concebirse como subvariedades (de la variedad objetivo en un modelo sigma), posiblemente ampliadas con un haz vectorial, o un haz de [algo], o tal vez algún otro tipo de etiqueta/dato. (Correcciones son bienvenidas.)

Con la esperanza de consolidar mi comprensión del concepto, aquí están algunas de las preguntas que me han estado preocupando durante mi lectura.

1. ¿Cuál es la definición específica de un D-brane, digamos en el contexto de una teoría de campo topológica? (¿O cuáles son las definiciones provisionales más prometedoras?) ¿Qué referencias son más accesibles para una audiencia matemática?
2. ¿Qué imagen debo tener en mente cuando un autor habla sobre "el espacio de módulos de D-branes"?
3. ¿Cuál es la idea detrás de la "dinámica de los D-branes" de la que a veces hablan los investigadores? (Tal vez cuando entienda mejor cómo pensar en estos dispositivos, será más fácil concebir cómo deberían cambiar con el tiempo.)
4. ¿Qué se necesita para verificar (o al menos afirmar/conjeturar) que los elementos de la K-teoría retorcida clasifican las "cargas de D-branes"?

(Pregunta repostada de aquí.)

Answer 1

Existe una formulación álgebra abstracta de QFT: esto dice que una QFT n-dimensional es una asignación consistente de espacios de estados y de mapas entre ellos a n-dimensionales cobordismos.

Si uno permite cobordismos con límites aquí, se habla de QFT abierta-cerrada. Una D-brana en este contexto es el tipo de datos asignado por la QFT a estos límites.

También hay un aspecto geométrico en esto: muchas QFTs definidas abstractamente se imaginan como "sigma-modelos". Se supone que son inducidas por un proceso llamado "cuantización" a partir de una funcional (la "acción") en un espacio de mapas $\Sigma \to X$ de un cobordismo $\Sigma$ en una variedad suave $X$ equipada con datos geométricos adicionales (como métrica, conexiones, etc.).

Bajo esta correspondencia, se puede preguntar cuáles propiedades algebraicas abstractas de la QFT se derivan de qué aspectos geométricos de estas "estructuras de fondo". Se descubre que los datos que la QFT asigna a los límites provienen de datos geométricos sobre $X$ que tiende a parecerse a subvariedades con sus propios datos geométricos (¡pero pueden ser considerablemente más generales que eso!). Si es así, estos datos geométricos en $X$ se llaman una D-brana del sigma-modelo.

Existen muchas instancias de esto que se entienden en el nivel aproximado en el que la teoría cuántica de campos fue entendida en el siglo XX. Un caso especial que en este momento está bajo un control matemático bastante completo y que sirve como una buena guía para el concepto general de las D-branas es lo que se llama "CFT 2d racionales".

Hay una clasificación matemática completa de las CFTs racionales 2d en su forma algebraica abstracta: están dadas por objetos algebraicos de Frobenius simétricos especiales internos a una categoría tensorial modular de representación de un álgebra de operadores de vértice.

Bajo este teorema de clasificación, se puede demostrar que los datos de frontera = D-branas en la formulación algebraica son precisamente módulos sobre este objeto algebraico de Frobenius.

En casos especiales agradables, se entiende de dónde vienen estos datos geométricamente. El ejemplo notable es el modelo Wess-Zumino-Witten, donde el espacio objetivo es una variedad de grupos. Aquí se encuentra que en el caso más simple, los datos geométricos correspondientes a estas D-branas son subvariedades dadas por clases de conjugación, y llevando haces vectoriales torcidos. Sin embargo, de manera más general, las D-branas están dadas por cociclos en la K-teoría diferencial torcida del grupo. Por lo tanto, la identificación "D-brana = subvariedad" es demasiado ingenua, en general. La identificación correcta es:

D-brana geométrica = datos geométricos en el espacio objetivo del sigma-modelo que inducen datos de frontera de la correspondiente QFT de volumen mundial definida algebraicamente.

Para más información, ver

http://ncatlab.org/nlab/show/brane

Answer 2

Voy a intentar dar una respuesta corta y parcial escrita para matemáticos puros.

La palabra "brane" en la física de alta energía significa "subvariedad". La palabra es una abreviatura de "membrana". Más precisamente, significa una subvariedad del espacio que se mueve en el tiempo. Por lo tanto, una brana de $p$ dimensiones en el espacio es también una brana de $p+1$ dimensiones en el espacio tiempo.

La letra "D" es por "Dirichlet". En las ecuaciones diferenciales clásicas, una condición límite de Dirichlet es una condición en la que algunas de las funciones de la ecuación se mantienen constantes en el límite del dominio. Geométricamente, si $M$ es una variedad y $B \subseteq M$ es una "brana", entonces $B$ se utiliza como una brana D si un mapa $f:\Sigma \to M$ es (a) mencionado en una ecuación diferencial, y (b) debe satisfacer la condición de Dirichlet $f(\partial \Sigma) \subseteq D$. Por ejemplo, si $\Sigma$ es una superficie y se requiere que $f$ satisfaga la ecuación de superficie mínima, entonces la condición $f(\partial \Sigma) \subseteq D$ pide una superficie mínima cuyo borde sea un lazo en $D$ (digamos en alguna clase de homotopía).

Esta imagen ahora está sujeta a dos reinterpretaciones. Primero, la reinterpretación cuántica. En lugar de exigir que $f$ satisfaga su ecuación, asumimos alguna funcional Lagrangiano $L$ y estudiamos la integral formal de $\exp(iL(f))$ sobre todas las elecciones de $f$. Por ejemplo, en lugar de imponer la ecuación de superficie mínima, podemos dejar que $L$ sea el funcional de área de $f(\Sigma)$, o el funcional de energía. Esta es a menudo una integral no rigurosa (una integral de trayectoria de Feynman), pero sin embargo en casos favorables parece ser una integral potencialmente rigurosa y puede ser estudiada. Mirar el espacio de todos los mapas $f:\Sigma \to M$ para una variedad $M$, con o sin una condición de límite de Dirichlet, se llama un "modelo sigma" en la teoría cuántica de campos.

La segunda reinterpretación es la de la teoría de cuerdas. Supongamos que $\Sigma$ es bidimensional y que el modelo sigma es una teoría cuántica de campos conforme. En lugar de ver este modelo solo como una teoría cuántica de campos, se ve como la expansión perturbativa (como una serie de potencias en el género de $\Sigma$) de alguna teoría dinámica de $M$ en sí, y tal vez de $M$ y algunas branas D en $M$. Para que esta segunda reinterpretación sea viable, tanto $M$ como las branas D en $M$, y las otras reglas del modelo sigma, deben cumplir con una serie de condiciones especiales. (Por ejemplo, sin decoraciones adicionales como branas D, $M$ debe satisfacer la ecuación de Einstein). Estas condiciones especiales a veces son parte de la definición de facto de una brana D.

Answer 3

No lo he leído (y no creo que pueda), pero... ¡échale un vistazo a esto!

http://arxiv.org/pdf/1003.1178.pdf