Exposiciones con los pies en la tierra de la teoría de Hodge

Question

¿Qué son buenas exposiciones de Hodge teoría de la no utilización de avanzadas del lenguaje de la geometría algebraica o categoría de la teoría?

Por supuesto, ya que no he encontrado una (para mí) legible de la introducción, no sé lo que debo aprender acerca de la teoría de Hodge, pero al menos yo estoy buscando:

• razones para esperar que las soluciones para el laplaciano (en lugar de otros operadores) deben ser estudiadas

• ejemplos donde la armónica de las formas puede ser explícitamente por escrito

• cómo pensar de armónica de las formas en general

• la hodge diamantes (y cómo calcularlos!) de la norma ejemplos de variedades proyectivas

Hasta ahora he leído (partes de) las partes pertinentes de Griffiths-Harris y notas de la conferencia en la web, pero todavía no se cómo entender cómo hacer los cálculos con Hodge de la teoría, o para que las variedades que deben esperar para ser capaz de usarlo.

Answer 1

La mejor explicación de la teoría de Hodge he escuchado en mis años de estudiante de mi asesor Oleg Viro; yo no sé quién es el autor.

(1) Considerar la posibilidad de una compleja $(C^*,d)$ de Euclídea espacios. Luego está el adjunto diferencial $d^*$, y elementales de álgebra lineal establece canónica (dada la métrica) isomorphisms $H^*=\ker\Delta=\ker d\cap\ker d^*$ donde $\Delta:=dd^*+d^*d$. Tomando esto para el infinito dimensional caso de los formularios en una cerrada múltiple es una analítica tecnicismo.

(2) En cualquier complejo colector hay un canónica $(p,q)$-descomposición de las formas. por lo tanto, una filtración en la cohomology (que no necesariamente inducir a una clasificación). Sin embargo, si la métrica es K\"ahler, a continuación, $\Delta=2\square=2\bar\square$ (facultad de matemáticas); por lo tanto, armónico de formas respecto a la calificación y obtener una calificación en el cohomology (que es determinado por la filtración, por lo que es canónico).

(3) Un poco más de trabajo ($dd^*+d^*d$, un poco de álgebra lineal de nuevo, y la definición explícita de los mayores diferenciales) muestra que el espectro de la secuencia de secuencia asociado con la Hodge filtración se derrumba. En conjunto, esta es la teoría de Hodge.

Answer 2

Pensé que me gustaría añadir un par de palabras para responder a la pregunta: "razones para esperar que las soluciones para el laplaciano/cómo pensar de armónica de las formas". Tiendo a pensar que el teorema de Hodge como un infinito dimensional versión de los mínimos cuadrados. De Rham del teorema nos dice que la cohomology de un colector puede ser identificado con el espacio de formas cerradas modulo las formas exactas. Pero esto plantea la pregunta ¿cómo elegir un buen representante para cohomology de clase? Supongamos que nuestro colector es compacta y orientable, y que hemos elegido un Riemanninan métrica que nos permite medir el tamaño. A continuación, el representante natural sería aquella que minimiza la norma. Este es precisamente el armónico representante. Aquí está la explicación. Si $\Delta\alpha=0$ donde$\Delta = dd^*+d^*d$,, a continuación, $$||d\alpha||^2+||d^\ast\alpha||^2=\langle\Delta\alpha,\alpha\rangle=0$$ por lo $\alpha$ es cerrado y co-cerrado (y por el contrario, estas formas son armónicas). Por lo tanto, $\alpha$ determina una cohomology de la clase. Cualquier otra forma en que la clase está dado por $\alpha+d\beta$. Tenemos $$||\alpha+d + \beta||^2= ||\alpha||^2+||d\beta||^2+\langle d^*\alpha,\beta\rangle= ||\alpha||^2+||d\beta||^2\ge ||\alpha||^2$$ De hecho, $\alpha$ tiene la menor norma en su clase.

Para aplicaciones a la geometría algebraica una de las necesidades de los armónicos de la teoría de jugar así con la geometría compleja (por ejemplo, holomorphic formularios deben ser armónicas). Para ello, necesitamos un Kähler métrica como se describe en Alex Degtyarev la respuesta.

Answer 3

Puede que le gusten las asignaciones de períodos y los dominios de períodos , de Carlson, Muller-Stach y Peters. Este libro contiene muchos ejemplos realmente agradables, e incluso hay ejercicios al final de muchas secciones.

Answer 4

Soy un gran admirador de las respuestas de Donu Arapura en mathoverflow. Tiene un libro muy bueno llamado "geometría algebraica sobre los números complejos" que analiza una pequeña fracción de la teoría de Hodge.

Answer 5

Si recuerdo correctamente, una introducción bastante legible y directa a los fundamentos de la teoría de Hodge (en el entorno geométrico diferencial) se puede encontrar en el Capítulo 6 titulado "Teorema de Hodge" del libro F. Warner, Fundamentos de manifiestos diferenciables y mentira Grupos .