¿Descripciones equivalentes de la conjetura de Hodge?

Question

Me gustaría saber equivalente descripciones de la conjetura de Hodge (con referencias).

• Dan Liberado la Versión:

Considere la posibilidad de un topológico ciclo (límite menos cadenas que son libres para deformar) en un proyectiva colector. La topológico ciclo es homóloga a una combinación racional de ciclos algebraicos, si y sólo si la topológico de que el ciclo de rotación número cero.

• Deligne versión (la Arcilla de la descripción oficial):

En un proyectiva no singular variedad algebraica sobre $\mathbb{C}$ , cualquier Hodge clase es una combinación racional de clases $\rm{Cl(Z)}$ algebraico de los ciclos.

• nLab ((Puro)Motivic descripción):

Deje $SmProj^{cor}_\mathbf{C}$ denotar la categoría algebraico de las correspondencias de suave proyectiva variedades algebraicas sobre los números complejos. Luego de la canónica functor

$$ SmProj^{cor} \to HS^{pure} $$

a la categoría de racional puro Hodge estructuras, dado por tomar racional Betti cohomology, es completo.

La equivalencia entre las declaraciones de la conjetura de Hodge

Answer 1

• [...] "Conjetura de Hodge puede reformularse diciendo que la Hodge realización de la forma algebraica definida $\mathbb{Q}$-espacio vectorial de codimension p algebraicas ciclos modulo numérico (o homológica) la equivalencia es 1-motivo parte de $H^{2p}(X, \mathbb{Q}(p))$."[...] En algebraicas 1-motivos relacionados con hodge ciclos, Luca Barbieri-Viale.

• "En el siglo xx, los matemáticos descubrieron maneras de gran alcance para investigar las formas de los objetos complicados. La idea básica es preguntarse en qué medida podemos aproximar la forma de un objeto dado por pegando geométricas simples bloques de construcción de la creciente dimensión. Esta técnica resultó ser tan útil que se hizo generalizada en muchas maneras diferentes, llevando eventualmente a las potentes herramientas que permitieron a los matemáticos a hacer un gran progreso en la catalogación de la variedad de objetos que encontraron en sus investigaciones. Por desgracia, la geométrica orígenes de la el procedimiento que se convirtió en oscurecida en esta generalización. En cierto sentido, es necesario añadir las piezas que no tienen ninguna interpretación geométrica. La conjetura de Hodge afirma que particularmente agradable tipos de llamados espacios proyectivos variedades algebraicas, las piezas denominadas Hodge ciclos son en realidad (racional lineal) combinaciones de piezas geométricas llamado algebraicas ciclos". La arcilla de la descripción Informal.

• "La conjetura de Hodge tiene y motivaciones puras M ∈M es eficaz si y sólo si H(M) es eficaz."

• "(para triangular los motivos) La conjetura de Hodge tiene y un objeto M ∈ DMgm es eficaz si y sólo si su Hodge realización efectiva. Rebanada de filtración en los motivos y la conjetura de Hodge, con un apéndice por J. Ayoub, A. Huber.

• $∀X, GMot_{k,Hσ}(X) = MT(X) ⊆ GL(H_σ(X))$. Motivic grupos de galois, Kahn

Answer 2

Richard Thomas dio una reformulación posiblemente menos conocida de la conjetura de Hodge. Se relaciona con un problema acerca de encontrar hipersuperficies nodales con suficiente homología.

https://arxiv.org/abs/math/0212216