Maquinaria algebraica para la geometría algebraica

Question

Hola a todos,

Soy un estudiante de matemáticas que acaba de obtener su primer grado, y estoy estudiando geometría algebraica desde hace unos meses. Algo que he notado es la (a mis ojos) enorme cantidad de álgebra conmutativa que uno necesita para profundizar un poco más que las materias elementales. Esto se puede ver simplemente contando los "lemas de A" en el libro de Hartshorne o incluso más mirando en otros libros donde se dan muchos resultados puramente algebraicos con referencias a la demostración.

El problema se hace más evidente cuando intento hacer cosas por mi cuenta y en particular en los ejercicios. Muchos de los ejercicios que vi requerían algún dato sobre el álgebra conmutativa que, casualmente, o bien no conocía o bien lo sabía sólo "al azar" por la experiencia o por mi clase universitaria sobre álgebra conmutativa (asistí a la más avanzada de mi universidad, pero desgraciadamente no es suficiente).

Mi pregunta es, ¿cómo debe hacer uno para sentirse "libre" de cualquier laguna razonablemente elemental sobre el álgebra conmutativa? Tomar los libros de referencia como los de Eisenbud, Zariski-Samuel o incluso Bourbaki, y estudiarlos desde el principio hasta el final, suena a una misión bastante grande. Sin embargo, soy escéptico respecto a la idea de estudiar los resultados uno por uno, ya que se corre el riesgo de no aprender nunca esas nociones de fondo de forma adecuada.

Espero que mi pregunta sea adecuada en este foro,

¡gracias de antemano por su opinión!

Answer 1

Creo que es una muy buena pregunta, porque estudiar el álgebra conmutativa por sí sola es difícil, es mucho mejor hacerlo con alguna idea de lo que significa todo eso geométricamente.

En mi opinión, la mejor entrada al álgebra conmutativa la proporciona el libro de Miles Reid Álgebra conmutativa de grado . Miles Reid es un geómetra algebraico, así que cuando escribe sobre el álgebra conmutativa, lo hace pensando en la geometría. Yo diría que este libro tiene todo lo que se necesita para poder iniciarse en la geometría algebraica, excepto la teoría de la dimensión, que se hace de forma excelente en Atiyah-MacDonald.

Te sugiero que leas este libro, que es breve para que no pierdas de vista tu objetivo final y ya puedas empezar a sentir que realmente estás leyendo sobre geometría. Cuando termines empieza a leer geometría algebraica. Por ejemplo Hartshorne. En ese libro como descubriste hay muchos resultados de álgebra citados y aún más son necesarios para los ejercicios que absolutamente tienen que hacer. ¡Más de la mitad del material importante está en los ejercicios!

Cuando te quedes atascado en un problema, pregúntate si puedes traducir el problema o parte de él a un problema de álgebra y luego mira si puedes encontrar algo relacionado con eso en uno de los libros estándar de álgebra conmutativa como Eisenbud o Matsumura o para el caso el proyecto stacks.

Como has descubierto, también necesitarás álgebra homológica, pero no cualquier álgebra homológica general, sino la que se utiliza en el álgebra conmutativa. Hay un gran libro para eso: Bruns-Herzog: Anillos Cohen-Macaulay . Esto también es una gran empresa, pero no es necesario leer todo el libro para empezar. Digamos que hay que leer los dos primeros capítulos, pero no necesariamente de un tirón. Tómate tu tiempo mientras haces otras cosas. Y lo más importante, todo lo que leas en ese libro (o en cualquier libro de álgebra) intenta ver si puedes dar a los enunciados y nociones un significado geométrico o, por lo menos, inventar ejemplos que provengan de la geometría. Por ejemplo, encuentra tu ejemplo favorito de una variedad no-Cohen-Macaulay. Luego encuentra otro.

Por supuesto, a medida que avanzas necesitarás más y más álgebra, pero después de un tiempo te acostumbras a adquirir esos conocimientos a medida que avanzas. Tiene más sentido aprender estas nociones más avanzadas cuando llegas a ellas.

Sin tratar de ser exhaustivo, supongo que tarde o temprano tendrá que aprender sobre los primos asociados (esto ya ocurre en cierta medida en el libro de Reid), las extensiones integrales, los teoremas de subida y bajada, la teoría de la dimensión, las secuencias regulares, la profundidad y la gran ballena: la planitud. La planitud es extremadamente importante, pero algo difícil de entender en toda su profundidad al principio (o incluso después). No desesperes, empezarás a tener una idea si sigues con ello. En fin, hay muchas más cosas que aprender, pero no lo has preguntado.

Así que, por ahora, yo diría que leas el libro de Reid, luego lee a Hartshorne (o algo similar) y luego trata de obtener los conocimientos de álgebra que te faltan a medida que avanzas.

Answer 2

Quiero ofrecer una opinión posiblemente herética basada en conversaciones que he tenido con personas que hacen geometría algebraica, especialmente Joe Harris. Creo que no es necesario saber mucho álgebra conmutativa para estudiar y entender la geometría algebraica. Los objetos fundamentales que estudia la geometría algebraica son muy concretos e intuitivos, e incluso cuando te encuentras con esquemas no reducidos, o saltas a la característica positiva para estudiar la teoría de números usando herramientas de AG, hay unas cuantas técnicas estándar de traducción de resultados de entornos familiares a otros nuevos, y gran parte del formalismo que los rodea puede tratarse como una caja negra. Si necesita entender algún ejercicio de Hartshorne, por ejemplo, siempre que quiera conocer la geometría, puede saltarse con seguridad y asumir los ejercicios de álgebra conmutativa, o hacer suposiciones adicionales sobre sus anillos que faciliten las cosas técnicamente.

Hay dos situaciones en las que es bueno saber qué hay bajo el capó de un coche: una es cuando se rompe, la otra es cuando hay que hacer un coche nuevo. Ninguna de las dos debería impedirte ponerte al volante y aprender a conducir. Y si sabes lo que hace un coche y cuándo se rompe, te sorprenderá el sentido que tiene la sofisticada tecnología que hay bajo el capó.

Dicho esto, se han hecho muchas y muy buenas cuentas escarbando bajo el capó. Si quieres una recomendación en cuanto a libros, yo me decantaría por Atiyah-MacDonald.

Answer 3

Conociendo a Sandor, secundaré de corazón lo que ha dicho. En segunda instancia, diré que el libro rojo de Mumford sobre geometría algebraica comienza con 5-10 páginas (dependiendo de su edición) llamadas "algo de álgebra". Esto consiste en el siguiente subconjunto de la lista de Sandor: el lema de normalización de noether, y el lema de subida de cohen - seidenberg, además de corolarios como el nullstellensatz "débil". Por lo tanto, esto parece ser un mínimo de álgebra que hay que conocer.

Observo que esto también está en sintonía con el post de Dmitry de que no es necesario tanto.

Answer 4

No soy en absoluto un geómetra algebraico, pero he utilizado muchas de sus ideas y resultados para estudiar la dinámica algebraica. Encontré que el libro "Ideals, Varieties, and Algorithms" de Cox, Little y O'Shea era una forma maravillosa de aprender tanto el álgebra como la geometría, todo ello en el contexto de cálculos concretos utilizando las bases de Groebner. Se trata de un texto muy bien escrito, bastante accesible para los estudiantes universitarios, lleno de grandes ejemplos y problemas. Muy recomendable.

Answer 5

Yo recomendaría el nuevo libro "Computational Commutative Algebra and Algebraic Geometry: Curso y ejercicios con soluciones detalladas" https://www.amazon.com/dp/1096374447?ref_=pe_3052080_397514860