Transformada de Fourier en el cubo discreto

Question

Notación: identificar un elemento de $\{-1,1\}^n$, con el set de $S \subseteq \{1, \ldots, n\}$ on que toma el valor de $-1$.

El siguiente es un asintótica pregunta. "Cerca de uno" significa "más de $r_n$" y "lejos de $\frac{n}{2}$" significa "fuera del intervalo de $[\frac{n}{2} - k_n\sqrt{n}, \frac{n}{2} + k_n\sqrt{n}]$", para algunos $r_n$ e $k_n$ que, respectivamente, aumentar el uno y el infinito como $n \to \infty$.

Conjetura: para cualquier subconjunto de $\{-1,1\}^n$ existe una compleja función con valores de con $l^2$ norma igual a 1, apoyada en un subconjunto o en su complemento, cuya transformada de Fourier ha $l^2$ norma cerca de uno en $\{S: |S|$ está lejos de $\frac{n}{2}\}$.

Una respuesta positiva tendría consecuencias muy interesantes. Esto significaría que una sola subespacio de $l^2(\{-1,1\}^n)$ cuya dimensión es pequeña comparada con la de todo el espacio está cerca de cada subespacio generado por la norma vectores de la base o su complemento.

Yo no estoy familiarizado con la literatura sobre el análisis de Fourier en el discreto cubo. ¿Hay algo que podría ayudar a resolver esta pregunta?

Edit: me han editado este antes, pero supuse que había desaparecido de la vista. Desde el Kadison-Cantante problema tiene una solución positiva, la respuesta a la conjetura es no. Detalles de publicación en una respuesta.

Answer 1

En el lenguaje de Marcus-Spielman-Srivastava, Corolario 1.5, identificar a $l^2(S)$ con ${\mathbb C}^d$ donde $d = |S|$ y dejar que los vectores $u_i \in {\mathbb C}^d$ ser las proyecciones ortogonales en $l^2(S)$ de las transformadas de Fourier de la norma vectores de la base de $l^2(\{-1,1\}^n)$. Por el Corolario 1.5 con $r = 2$, podemos encontrar un subconjunto $T$ de % de $\{-1,1\}^n$ tal que $$(.5 - O(\sqrt{\delta}))I \leq \sum_{i \in T} u_iu_i^* \leq (.5 + O(\sqrt{\delta}))I$$ donde $\delta = \frac{d}{2^n}$. Esto significa que la transformada de Fourier de cualquier vector en $l^2(T)$ con $l^2$ norma igual a 1, se divide en un componente apoya en $S$ y un componente soportado de $S$, cada uno de los cuales tiene plaza de la norma en el intervalo de $[.5 - O(\sqrt{\delta}), .5 + O(\sqrt{\delta})]$.

La conjetura de falla drásticamente: no sólo es $l^2(S)$ a $l^2(T)$ o $l^2(T)^\perp$, pero cada vector unitario en $l^2(T)$ o $l^2(T)^\perp$ es de aproximadamente $45^\circ$ de $l^2(S)$.