Valores especiales de funciones L como períodos

Question

Si $M$ es un puro motivo más de $\mathbb{Q}$, uno de cas definir su $L$-función de $L(M,s)$ que conjecturaly es una función de meromorphic más de $\mathbb{C}$ con un número finito de polos. Por ejemplo, cuando se $M=\mathbb{Q}$ es el motivo trivial, $L(\mathbb{Q},s)$ es la de Riemann Zeta función de $\zeta(s)$.

Hay un famoso concjecture diciendo que todos los valores de $L(M,s)$ a los enteros $n$ (que no son cero o postes, decir; de lo contrario, reemplace el valor por el valor del capital) son los períodos -- que es decir que tienen partes reales e imaginarias que puede ser expresado como (según la Wikipedia la definición) diferencias de volúmenes de la región de Euclideans ritmo dado por el polinomio las desigualdades con coeficientes racionales.

Esta conjetura es debido (si no me equivoco) a Deligne en el caso de que $n$ es lo que se llama valor crítico de $L(M,s)$ y a Beilinson en general. No voy a recordar la definición de crítica aquí, pero puedo decir que para $\zeta(s)$ los valores críticos se $n=2,4,6,8,\dots$ e $n=-1,-3,-5,\dots$. Por supuesto, la conjetura de Deligne, en este caso se sabe que Euler demostró que $\zeta(2n)$ es un racional veces el volumen de la unidad de la bola en $\mathbb{R}^{4n}$, e $\zeta(1-2n)$ es racional, por $n \geq 1$ (el posterior hecha completamente riguroso por parte de Riemann).

Ahora mi pregunta:

En cuyo caso (si cualquier) donde $n$ no es un valor crítico se sabe que L(M,n) es un período de tiempo?

Aquí está una segunda pregunta, relacionada con la primera:

¿Sabes que un buen estudio sobre los progresos oon Beilinson la conjetura?

Answer 1

En el caso de $M$ es el espectro de un campo de número (de modo que $L(M,s)$ es el Dedekind zeta función asociada con el número de campo), es conocido gracias a Borel del teorema de que todos los no-valores críticos de $L(M,n)$ son de hecho los períodos. EDIT : debo añadir que es muy fácil probar que $\zeta(n)$ es un período para cada $n \geq 2$, por el siguiente cálculo :

\begin{equation*} \zeta(n)=\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^n} = \sum_{k=1}^{\infty} \int_0^1 \cdots \int_0^1 (x_1 \cdots x_n)^{k-1} dx_1 \cdots dx_n = \int_0^1 \cdots \int_0^1 \frac{dx_1 \cdots dx_n}{1-x_1 \cdots x_n}. \end{ecuación*} Hay un poste en $(1,\ldots,1)$ en la última expresión (uno más se puede regularizar), pero dado que la integral es absolutamente convergente, esto es suficiente para demostrar que $\zeta(n)$ es un período.

En el caso de $M$ es el motivo asociado a un (clásica) newform $f$ peso $k \geq 2$, la falta de valores críticos se $L(f,m)$ con $m \geq k$. Beilinson del teorema establece que cada uno de estos valores es dado, hasta un estándar factor, por el determinante de un regulador de la matriz (usted puede pensar en ello como un análogo de la clase número de fórmula si lo desea). De hecho, en este caso, el regulador de la matriz de tamaño 1, por lo que sólo tenemos un número. La desintegración de la definición de Beilinson del regulador mapa, esto implica que $L(f,m)$ es de hecho un período (si se considera $L'(f,k-m)$ en lugar de eso, tal vez, uno tiene que invertir una potencia de $\pi$). Tenga en cuenta sin embargo que, en general, esta expresión como un periodo que está lejos de ser explícito.

En los casos más complicados como el simétrico de los poderes de la motivación asociada a una forma modular, entonces (a mi conocimiento) casi no se sabe nada, excepto en el caso de CM curvas elípticas, por lo que en general, existe un teorema por Deninger.

Es muy difícil dar una lista exhaustiva de todos los resultados en esta área, y puede que se me ha olvidado mencionar los resultados importantes. En cualquier caso, que, efectivamente, sería agradable tener una lista. Así que por favor, no dude en completar esta respuesta.

Para un buen estudio sobre Beilinson del conjeturas, usted puede desear mirar en Nekovar del artículo "Beilinson conjeturas". El vínculo con los períodos está bien explicado en Kontsevich-Zagier el artículo de "Períodos". Otra referencia que tengo en mente es Flach el artículo de "El Equivariant Tamagawa Número de Conjeturas : Una encuesta".