El Programa De Instalación
Deje f:R→R ser una función suave con apoyo en el intervalo de [−R,R] y de satisfacciones ∫f=0. Mediante la manipulación de algunas integrales, he encontrado el sorprendente desigualdad ∫∫f(x)f(y)|x−y|dxdy≤0. Mis preguntas son
- Es esta desigualdad verdadera? Es mi derivación a continuación correcto?
- Existe una razón por la que esto es cierto?
- Hay otras funciones no triviales g(x,y) para los que ∫∫f(x)f(y)g(x,y)dxdy≤0? ¿Qué propiedades debería esperar de estas funciones g(x,y)?
La Derivación
Deje H:R→R ser la función de Heaviside, por lo H(x)=1
para x>0, e H(x)=0x≤0. Yo estaba interesado en la convolución H∗f(x) definido por
H∗f(x)=∫f(y)H(x−y)dy=∫x−∞f(y)dy.
Aviso que desde f tiene apoyo en [−R,R]∫f=0,
H∗f también tiene soporte en [−R,R].
Ahora estamos preparados para iniciar la derivación de la desigualdad, a partir de
con la simple observación
0≤∫|H∗f(x)|2dx=∫R−R|H∗f(x)|2dx.
Primera ampliar la plaza y la convolución, y, a continuación,
reorganizar el orden de las integrales:
∫R−R|H∗f(x)|2dx=∫R−R(∫R−Rf(y)H(x−y)dy)(∫R−Rf(z)H(x−z)dz)dx=∫R−R∫R−Rf(y)f(z)(∫R−RH(x−y)H(x−z)dx)dydz
El integrando H(x−y)H(x−z) 1 cuando ambos x>yx>z, e 0 lo contrario. Por lo tanto la integral viene a min. Nos conectamos con esta
de nuevo en la integral, y utilizar de nuevo el hecho de que \int f = 0:
\begin{align*}
\int_{-R}^R\int_{-R}^R f(y)f(z) \min\{R-y,R-z\} \,dydz
&= \int_{-R}^R \int_{-R}^R f(y)f(z)(\min\{-y,-z\} - R)\,dydz
\\&= \int_{-R}^R\int_{-R}^R f(y)f(z)\min\{-y,-z\}\,dydz.
\end{align*}
Ahora dividir el dominio según el cual de -y o -z es menor:
\begin{align*}
\int_{-R}^R\int_{-R}^R f(y)f(z)\min\{-y,-z\}\,dydz
&= -\int_{y=-R}^R f(y)\left(y\int_{z=-R}^y f(z)\,dz + \int_{z=y}^R zf(z)\,dz\right)\,dy.
\end{align*}
Desde \int_{-R}^R f(z)\,dz = 0, \int_{-R}^yf(z)\,dz = -\int_y^R f(z)\,dz, así que podemos combinar las integrales a la conclusión de que
\begin{align*}
\int |H\ast f(x)|^2\,dx &= \int_{-R}^R f(y) \int_y^R f(z) (y-z)\,dz\,dy\\
&= - \int_{-R}^R f(y) \int_y^R f(z) |y-z|\,dz\,dy
\end{align*}
Para llegar a la integral anterior, cambiar los nombres de las variables ficticias y
luego intercambiar el orden de las integrales:
\begin{align*}
\int |H\ast f(x)|^2\,dx &= -\int_{-R}^R f(z) \int_z^R f(y) |z-y|\,dy\,dz\\
&= -\int_{-R}^R f(y) \int_{-R}^y f(z) |z-y|\,dy\,dz.
\end{align*}
En conclusión, la adición de ambas fórmulas, obtenemos
0\leq 2\int |H\ast f(x)|^2\,dx = -\int\int f(y)f(z)|y-z|\,dy\,dz.
La derivación es bastante largo, así que hay una buena probabilidad de que he cometido un error.