¿Existe una función continua 2 a 1 de la esfera a sí misma?

Question

Estoy interesado en la siguiente pregunta:

¿Existe una función continua $f:S^2\to S^2$ tal que, para cualquier $p\in S^2$, $|f^{-1}(\{p\})|=2$?

Sospecho que la respuesta es no, pero no sé cómo demostrarlo.

En la actualidad, todo lo que tengo es que el mapa no puede ser local 1-a-1. Por si $f$ a nivel local es 1-a-1, entonces debe ser una cubierta y desde allí se puede obtener de las contradicciones en numerosas maneras.

Gracias por la ayuda.

Nota rápida: ya he hecho esta pregunta aquí en el MSE. Sin embargo, la cuestión se ha sentado durante una semana sin respuestas definitivas, por lo que pensé que estaba bien hacer aquí también.

Answer 1

No hay tal función como voy a demostrar a continuación, utilizando el trabajo de Civin (1943) y Kerékjártó (1919).

Permítanme revisar lo que necesitamos de la obra de Civin (1943). Deje $f$ ser continua y un 2-en-1 función definida en un compacto colector $M$. Para cada una de las $x\in M$, la preimagen $f^{-1}(f(x))$ consta de $x$ y otro punto de $s(x)\in M$. Deje $K\subset M$ el conjunto de puntos donde la $s$ es continua. Para $x\in M$, vamos a $t(x)=s(x)$ cuando $x\in K$, y deje $t(x)=x$ cuando $x\not\in K$. A continuación, $t:M\to M$ es un homeomorphism de orden 2 (es decir, $t^2=1$); voy a llamar a $t$ el homeomorphism asociados a $f$. También se sabe que $K$ es denso y abierto en $M$, y es invariante bajo $s$. Por lo tanto, $F:=M\setminus K$ es un lugar denso, compacto subconjunto de $M$, que es invariante bajo $s$, y la restricción de $f$ a $F$ a 2-a-1. Tenga en cuenta que $F$ es el conjunto de puntos fijos de $t$.

Supongamos ahora que $f:S^2\to S^2$ es un continuo de 2 a 1, la función y el uso de las notaciones en el párrafo anterior. Por el teorema de Kerékjártó (1919), $t$ es conjugado en el grupo de homoeomorphisms de $S^2$ a una rotación de ángulo de $\pi$ o una reflexión. Por lo tanto, podemos suponer sin pérdida de generalidad (es decir, después de componer $f$ desde el interior por un adecuado homeomorphism de $S^2$), que $F$ es un antipodal par de puntos o un gran círculo. En el primer caso, $f$ induce un homeomorphism desde el anillo $S^2\setminus F$ dividido por una rotación de ángulo de $\pi$ (que es todavía un anillo) para el perforado de la esfera $S^2\setminus f(F)$. Esto es claramente absurdo. Por lo tanto $F$ es un gran círculo, y $f$ induce un homeomorphism de (hemisferio) componente conectado de $S^2\setminus F$ a $S^2\setminus f(F)$. Considerar la restricción $g:=f_{\mid F}:F\to S^2$, que es un continuo de 2 a 1, la función, y el (orden dos) homeomorphism $u:F\to F$ asociado a $g$. Del mismo modo como antes, $u$ es conjugado en el grupo de homeomorphisms de $F$ a una rotación de ángulo de $\pi$ o una reflexión. En cualquier caso, podemos ver que $f(F)$ es homeomórficos a $S^1$. Por lo tanto, por el Jordan de la curva de teorema, $S^2\setminus f(F)$ tiene dos componentes conectados, contradiciendo nuestra conclusión anterior de que es homeomórficos a un hemisferio.