¿El número de besos de un cuadrado, cubo, hipercubo?

Question

Cuántos no se solapan unidad de plazas puede (nonoverlappingly) toque una unidad cuadrada? Por "superpuestas", quiero decir: no compartir un punto interior. Por "tocar" me refiero a: compartir un punto límite.

          

Parece que la respuesta para una plaza en $\mathbb{R}^2$ debe $8$, y para un cubo de $\mathbb{R}^3$, $26$.

Pero un documento de 1999 por Larman y Zong, "En los Besos Números Especiales Cuerpos Convexos." Discretos Comput Geom 21:233-242 (1999). (Springer link) dice

"En esta nota se determinan los besos números de octaedros, rómbico dodecaedros y alargada octaedros. De hecho, además de las bolas y cilindros, son los únicos cuerpos convexos cuyos besos números son exactamente conocido."

En ese papel, estaban interesados en la translative besos número y el enrejado de besos número, mientras que yo desee considerar arbitraria orientaciones de cada cuadrado/cubo. A pesar de la cita de arriba, parece que este debe ser conocido...?

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Actualización

(30Dec12) se explica a continuación (creo) el $0.82$ en Henry Cohn comentario, llevando a su prueba para $\le 9$ en $\mathbb{R}^2$:

          

Answer 1

La plaza de caso se plantea como un problema en Leningrado (ahora San Petersburgo) escuela secundaria de matemáticas de la olimpiada en el año 1963. Escribí una solución de este problema para el volumen "de San Petersburgo matemáticas olimpiadas de 1961-1993", D. V. Fomin, K. P. Kokhas eds., Lan' Publ. 2007 (en ruso), es Problema 63.31 en ese libro.

Aquí está el original muy detallada del proyecto de la solución de mi archivo (sólo un boceto hecho en el final del libro). Es en ruso, pero las imágenes y las fórmulas podrían ser suficientes para seguir la prueba. Hasta la primaria, pero engorroso caso de la captura, la solución es la siguiente.

Tenga en cuenta el límite de las dos más grandes plaza con el mismo centro y lados paralelos. Es una línea quebrada de longitud 8. Resulta que cada uno de los besos plazas se lleva un pedazo de longitud al menos 1 de esta línea quebrada. Por lo tanto, hay en la mayoría de los 8 besos plazas (y, además, analizar la igualdad de caso).
          
           _{(Instantáneas de las cifras agregadas por J. O'Rourke)}

La prueba de que el hecho de que la longitud de la intersección de al menos 1 es esencialmente un agotamiento de los casos, cada uno de los cuales es trivial. Es útil observar que la longitud de la intersección es un modelo lineal por tramos en función de la posición relativa de las plazas (si la orientación es fija), así que uno tiene que considerar sólo a los "límites" de las posiciones (es decir, aquellos donde una de las esquinas se encuentra en una de las líneas). Esto deja unos 10 casos a considerar.

Answer 2

Aquí hay una respuesta para la plaza de caso: después de lo que Henry hizo, usando matlab/octave cálculos, se obtiene que el 8 es el máximo.

Sinopsis: se puede perder un poco más de 11% de la superficie y todavía tiene un área que se divide en 8 a menos de 9 veces. Ahora tenga en cuenta que nosotros no perdemos mucho de la zona de la intersección de la punta de la plaza y de la plaza del anillo, a menos que la punta de la plaza, entre aprox 17 y 73 grados. También estamos garantizado para tener al menos un lado de la punta de la plaza, al menos, el 5 unidades a partir de una esquina de la plaza central. (vea la figura de abajo -- el ángulo límites son aproximados)

     (fuente)

Ahora, un poco de pensamiento y jugando le convencerá de que el área del rectángulo rojo es un límite inferior en el área inaccesible para otras plazas en el anillo, así que la zona se puede volver a agregar a la perdida de la zona.

(Hice los cálculos en dos ocasiones, encontró un simple error aritmético que no hizo efecto conclusión: estoy bastante seguro de que esto es correcto.)

Answer 3

El problema de los cuadrados pueden haber sido resuelta por la primera por J W T Youngs, Un lexema en las plazas, Americana de Matemáticas Mensual 46 (1939) 20-22. Youngs " prueba también se puede encontrar en Un M Gleason et al., El William Lowell Putnam Competencia de Matemáticas – Problemas y Soluciones: 1938-1964, pp 461-463, y en R Honsberger, Matemática Bocados, pp 82-89. Una discusión de la historia, y otra prueba, se encuentra en M S Klamkin et al., Los besos número de la plaza, las Matemáticas de la Revista 68 (1995) 128-133.

Likuan Zhao, Los besos número de polígono regular, Matemáticas Discretas, 188 (1998) 293-296, permite a $P_n$ ser un polígono regular con $n$ lados, y $k(n)$ sus besos número. Después de citar los resultados anteriores $k(3)=12$, $k(4)=8$, y $k(6)=6$, en el documento se establece $k(n)=6$ para $n>6$. Zhao y Junqin Xu, Los besos número de la pentágono regular, la Matemática Discreta 252 (2002) 293-298, terminar demostrando $k(5)=6.