¿Qué problemas de la "vida real" se pueden resolver con el billar?

Question

Recientemente concedí una entrevista a un medio de comunicación local en la que expliqué algunos problemas básicos abiertos en la dinámica del billar.

Tras una entrevista de 45 minutos, el informante me preguntó qué problemas de la "vida real" se pueden resolver con el billar... y le di una respuesta muy vaga.

Estoy buscando un ejemplo preciso de un problema de la "vida real" (además del juego de billar, por supuesto) que pueda ser modelado utilizando la dinámica del billar.

"vida real" = aplicada (no soy hablante nativo de inglés)

Answer 1

Me sorprende mucho que nadie haya mencionado la verdadera razón por la que los matemáticos son tanto interés por el billar. Viene de la mecánica (mecánica celeste, en primer lugar), y la primera cuestión considerada fue la de la existencia de trayectorias periódicas. Que corresponden a órbitas periódicas en mecánica.

G. Birkhoff en "Sistemas dinámicos" explica: "Antes de dar un ejemplo que ilustre las aplicaciones del teorema de Poincare y sus generalizaciones, consideremos en primer lugar un problema especial pero muy típico de este tipo, a saber, el problema del movimiento de una bola de billar en una mesa delimitada por una curva convexa. Este sistema es de gran interés por las siguientes razones. Todo sistema lagrangiano con dos grados de libertad, ... etc."

Para una fuente fácilmente disponible, véase Birkhoff, On the periodic motions of dynamical systems, Acta math., 48, 1927.

Answer 2

Existen algunas aplicaciones potenciales para el diseño de cavidades ópticas para láseres.

Imagina una región cuyos lados se reflejan. Puede iluminar con un láser y tener una abertura o un reflector parcial por donde puede salir la luz. Lo normal es que haya alguna "región de ganancia" en el interior, por ejemplo un cristal que se excita eléctricamente o mediante un láser que funciona a otra frecuencia. Queremos que un haz de entrada pase muchas veces por la región de ganancia, o que pase mucho tiempo allí de media, antes de que el haz llegue a la salida.

Una complicación que no está presente en los billares matemáticos habituales es que la región de ganancia puede tener un índice de refracción diferente al del medio circundante, por lo que la luz que entra en ella en ángulo puede ser desviada. Esto puede incluso depender de la intensidad de la luz.

Una posibilidad es controlar la geometría con mucha precisión. De hecho, aquí se puede utilizar el hecho de que los hiperboloides de una hoja son superficies doblemente regladas: Puede hacer que los segmentos pares sigan una regla y los segmentos Impares sigan la otra regla. Sin embargo, alinear esto con precisión puede ser complicado, especialmente con las complicaciones anteriores, y a veces no se hace un uso eficiente del volumen, por lo que no se consiguen tantas pasadas por el cristal para el espacio que se asigna a la cavidad.

Es posible que quieras diseñar una cavidad para que tolere pequeños errores, de modo que muchas trayectorias pasen mucho tiempo en la región de ganancia y luego salgan.

Answer 3

He aquí una sorprendente aplicación de las matemáticas relacionadas con el billar. La historia empieza bastante lejos, pero ten por seguro que acabará con problemas relacionados con las trayectorias de los billares.

Consideremos el problema práctico de averiguar la conductividad eléctrica dependiente de la posición de un objeto haciendo mediciones de tensión y corriente en la frontera. Esto se conoce como el problema de Calderón, y se puede formular de forma más precisa como sigue. Si el objeto es un dominio $M\subset\mathbb R^3$ la conductividad se modela mediante una función $\gamma:M\to(0,\infty)$ que satisface $\log\gamma\in L^\infty$ (medible, acotado lejos del infinito y del cero). Si $u:M\to\mathbb R$ es el potencial eléctrico, la densidad de corriente es por la ley de Ohm $-\gamma\nabla u$ y se deduce de la ley de Kirchhoff que $\operatorname{div}(\gamma\nabla u)=0$ . Medir la tensión en el límite significa medir $u|_{\partial M}$ y medir la corriente equivale a medir $\nu\cdot\gamma\nabla u|_{\partial M}$ , donde $\nu$ es la normal unitaria. El problema es entonces este: Dados los datos de tensión y corriente $$ \{(u|_{\partial M},\nu\cdot\gamma\nabla u|_{\partial M});u \in H^1(M),\operatorname{div}(\gamma\nabla u)=0\}, $$ reconstruir la función $\gamma$ .

Si todos los $\partial M$ está disponible para las mediciones, el problema se entiende bastante bien, aunque gran parte de los avances son muy recientes. En la dimensión dos el problema se puede resolver ( Astala-Päivärinta 2006 ) y también en dimensiones superiores con el supuesto adicional de que $\gamma$ es Lipschitz ( Caro-Rogers 2014 ).

En situaciones prácticas suele ocurrir que no se pueden hacer mediciones perfectas. Un caso de datos imperfectos es un problema de datos parciales en el que sólo una parte de $\partial M$ está disponible para las mediciones. En el resto de $\partial M$ se supone que el potencial desaparece (superficie conectada a tierra) y no se puede medir la corriente. Supongamos que $M$ está contenido en un cilindro $\mathbb R\times\Omega$ para un dominio $\Omega\subset\mathbb R^2$ para que $M$ contiene una parte cilíndrica $[0,L]\times\Omega$ y dos tapones en los extremos para que quede acotado. Supongamos que la parte inaccesible a las mediciones está contenida en la parte cilíndrica, más precisamente de la forma $[0,L]\times R$ para $R\subset\partial\Omega$ . Resulta que en este escenario se puede reconstruir un $C^2$ conductividad en $M$ si cualquier función $f\in C(\Omega)$ puede recuperarse a partir de sus integrales sobre todas las trayectorias de billar en $\Omega$ que reflexionan sobre $R$ y tienen puntos finales en $\partial\Omega\setminus R$ ( Kenig-Salo 2013 ).

Este problema de billar (conocido como el problema de tomografía de rayos rotos ) está lejos de entenderse completamente, pero la reconstrucción es posible, por ejemplo, si $R$ es un subconjunto de un cono ( Ilmavirta 2014 ). La tomografía de rayos rotos proporciona problemas abiertos relacionados con el billar y conectados con aplicaciones prácticas en la obtención de imágenes no destructivas.

Answer 4

El ordenador de bola de billar También se conoce como una lógica conservadora. es un modelo idealizado de ordenador mecánico reversible basado en la dinámica newtoniana, propuesto en 1982 por Edward Fredkin y Tommaso Toffoli. En lugar de utilizar señales electrónicas como un ordenador convencional, se basa en el movimiento de bolas de billar esféricas en un entorno libre de fricción formado por topes contra los que las bolas rebotan perfectamente. bolas rebotan perfectamente. Se ideó para investigar la relación entre la computación y los procesos reversibles en física.

El ordenador de bola de billar nunca llegó a realizarse en esta forma, pero desempeñó un papel importante en el desarrollo del ordenador cuántico. Como la evolución unitaria de la mecánica cuántica es reversible, no puede emplear las operaciones lógicas irreversibles de un ordenador convencional. (Esta historia se cuenta aquí .)

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Para una aplicación totalmente diferente de la dinámica de la bola de billar, a la física de los dispositivos semiconductores, véase Modelo de billar de un conductor multisonda balístico (1989).

Answer 5

Además de las otras excelentes respuestas, intente trazado de rayos tanto en física e ingeniería [propagación de ondas (electrones, luz, sonido, ...)] como en infografía [propagación de la luz para la generación de imágenes realistas].

Mi artículo sobre el gas de Lorentz (billar en el espacio extendido), [https://arxiv.org/abs/1402.7010 and Commun. Theor. Phys.] da algunas aplicaciones más; el párrafo final dice

Física del transporte Por último, el gas de Lorentz y otros similares se han utilizado a menudo para modelar el transporte a pequeñas escalas. En este contexto, el uso de canales poligonales para estudiar los nanoporos se mencionó en la subsección 6.4. Los canales de Lorentz se han utilizado para entender la eficiencia termoeléctrica. Otros ejemplos han sido los fluidos confinados,[221222] los vidrios,[7] las colisiones nucleares,[223] y las zeolitas. zeolitas.[224]