¿Un mapa de topología no patológica?

Question

Pienso en los espacios topológicos como en varias "islas de interés" (la isla CW, el archipiélago Zariski,...) que salpican un vasto "mar patológico" (el océano de la línea larga, el golfo del límite inferior...). Es decir, sólo sé cómo pensar en un espacio topológico si resulta que vive en una de estas islas, los métodos apropiados para una isla pueden ser completamente ajenos a los de otra, y un espacio topológico "aleatorio" probablemente no esté relacionado con nada de lo que sé pensar y, por tanto, es "patológico". Me gustaría tener una mejor perspectiva de cuántas de estas islas hay -- y quizás si algunas que creo que son distintas están realmente conectadas por algún istmo. Este es el aspecto de mi mapa actual:

• Complejos CW (y espacios homotópicos equivalentes a los mismos)

• Espectros de Zariski de anillos conmutativos (y esquemas)

• Espacios de piedra (espacios de Hausdorff compactos totalmente desconectados)

• Espacios vectoriales topológicos de dimensión infinita (y espacios modelados localmente en ellos)

Uno de los rasgos característicos de este mapa es que hay poca coincidencia entre las islas Aunque existe un solapamiento entre estas islas en un sentido literal, lo que realmente las diferencia es que las herramientas utilizadas en la exploración de una isla se parecen muy poco a las utilizadas en otra. Por ejemplo, cuando se estudian los espacios con las herramientas del complejo CW, la no-Hausdorffidad se considera patológica, los conjuntos abiertos no son interesantes y la dimensión infinita es una molestia, mientras que estas características se aceptan respectivamente cuando se estudian los espectros de Zariski, los espacios de Stone y los espacios funcionales-analíticos.

Preguntas:

1. ¿Hay otras clases de espacios topológicos que sean interesantes de estudiar (y no sólo como fuente de patologías)?

2. ¿Estas islas están menos aisladas de lo que parece? Por ejemplo, ¿hay consideraciones topológicas interesantes que se aplican simultáneamente a, por ejemplo, los espacios de Banach y los espacios de Stone?

3. ¿Es correcto pensar que el océano es vasto, es decir, que la "mayoría" de los espacios topológicos son "patológicos"?

Answer 1

¿Y los espacios topológicos finitos? (Una fuente útil de material sobre estos es: Algebraic Topology of Finite Topological Spaces and Applications, de Jonathan Barmak). Esa área estudia espacios no-Hausdorff la mayor parte del tiempo y tiene fuertes vínculos con los complejos CW a través de los posets de caras, pero también a través del vínculo con los posets tiene contactos externos con la combinatoria y con algunas de sus otras islas.

En otra dirección, el uso de los espacios topológicos en la Lógica y la Informática Teórica debería encajar en algún lugar. Un punto de entrada es "Topología a través de la lógica", de Steve Vickers. Esto encaja cerca de algunas de sus islas existentes, por lo que estará unido a ellas por puentes (¡probablemente con peajes!). También hay un uso de los espacios topológicos dentro de la Lógica Modal que, de nuevo, parece ser distinto de los otros, pero está vinculado.

Por último, "patológico" no es realmente definible, excepto en el sentido de "fuera de mis intereses actuales". La patología está en el ojo del que mira. Los espacios como los espacios compactos de Haudorff tienen una topología algebraica decente si se utiliza la teoría de la forma fuerte. Esto aproxima estos espacios por espacios CW y transfiere la bien amada teoría de homotopía de aquellos a través de usar métodos procategóricos. Incluso los subconjuntos cerrados generales de $\mathbb{R}^n$ que puede parecer patológico puede ser explorado. Hay conexiones entre sus $C^*$ -y su forma fuerte, por lo que se vinculan los enfoques de los espacios de Banach con un enfoque extendido de CW.

(Me detendré aquí, ya que esto lleva a espacios no conmutativos, y a muchas otras áreas encantadoras, como las gavillas y las topos, pero está llegando a los límites de las cosas que conozco bien).

Answer 2

Me adelanto a decir que los espacios polacos son una interesante y casi sui generis clase. Hay una rica literatura de aplicaciones a y desde la teoría descriptiva de conjuntos, con capas de "patología" organizadas jerárquicamente a lo largo de líneas estrechamente relacionadas con las jerarquías aritméticas y analíticas. También se utilizan ampliamente, como mencionó Nate, en la teoría de la medida abstracta y de la probabilidad.

Yo diría que hay istmos que conectan esta clase con la clase de los continuos (mencionada por D.S. Lipham; considérese, por ejemplo, la teoría de los pseudoarcos) como espacios métricos compactos conectados, y hasta cierto punto con los espacios de Hausdorff localmente compactos (por ejemplo, un espacio de Hausdorff localmente compacto es polaco si es segundo contable).

Answer 3

Las estructuras o-minimales, como generalización de la topología "domesticada" de los conjuntos semi-algebraicos y semi-analíticos, son bastante interesantes, en particular en las aplicaciones. Véase, por ejemplo, el libro

https://books.google.co.uk/books/about/Tame_Topology_and_O_minimal_Structures.html