Cronología de la cohomología (1935 a 1938)

Question

Hubo una reciente pregunta en intuiciones acerca de la gavilla cohomology, y me respondió, en parte, por lo que sugiere la "genética" enfoque (¿cómo cohomology en general surgir?). Para el material histórico específico a la gavilla cohomology, lo que Houzel escribe en el Kashiwara-Schapira libro de Poleas en los Colectores para gavilla teoría 1945-1958 debe ser adecuada.

La pregunta en realidad es sobre el período anterior 1935-1938. De acuerdo a nLab, cohomology con local coeficientes fue propuesto por Reidemeister en 1938 (http://ncatlab.org/nlab/show/history+de+cohomology+con+local+coeficientes). El otro delimitador viene de Massey artículo en la Historia de la Topología editado por Ioan James, lo que sugiere que a partir de 1895 y el inicio de homología, que tomó cuatro décadas de "doble homología de grupos" para obtener en el programa serio de topologists. Sucede que el año 1935 fue también la fecha de un gran internacional de la topología de la conferencia de Stalin de Moscú, organizada por Alexandrov. Esto podría ser tomado como el momento en el que cohomology estaba "en el aire".

Ahora del teorema de de Rham es sin duda un poco antes. La dualidad en los colectores es bastante un poco antes en una homología de la formulación.

Al parecer es el caso que En la conferencia de Moscú de 1935, tanto la prueba de Kolmogorov y Alexander anunció la definición de cohomology, que habían descubierto de forma independiente el uno del otro. Esto es de http://www.math.purdue.edu/~gottlieb/Bibliografía/53.pdf en la página. 11, que a continuación se menciona las funciones de Čech y Whitney en el próximo par de años. Esto está muy bien, como una narrativa, en la medida de como va. Tengo un par de preguntas, a pesar de que:

1) Es la axiomática idea de cocycle tan tarde como Eilenberg en la década de 1940?

2) ¿Cuál fue el papel de la obstrucción de la teoría, que produce explícita cocycles?

Además, Weil tiene su propia historia. Presente en la conferencia de Moscú y en la URSS durante un mes o así después, su interés en cohomology se dirigió hacia la integración de de Rham del enfoque en la teoría. Comenta en las notas de sus obras que él bastante rechazó Eilenberg las ideas. Bourbaki iba a escribir sobre "la topología combinatoria", pero la idea estancado (supongo que esta es relativa). Así que también me gustaría entender mejor los siguientes:

3) debemos aceptar la topologists' historia de cohomology, si es que significa que la restricción de la atención a la "algebraica" de la teoría, o no hay más topología diferencial, así como la gavilla de la teoría en la foto?

Como se dijo, la restricción a un corto período parece una buena idea para obtener una mejor adherencia en este fragmento de la historia.

Answer 1

Lo que me llama la atención acerca de los primeros cincuenta años de la homología de la teoría de Poincaré para Eilenberg-Steenrod del libro) es que el desarrollo fue mucho acerca de la remoción de complicación innecesaria como sobre el aumento de la sofisticación. Un ejemplo famoso es homología singular, que se encontró que era muy tarde, por Eilenberg. La construcción como sabemos es de suponer que parecía demasiado ingenuo Lefschetz, que equivocadamente desarrollado una teoría de orientado simplices, e insuficientes para aquellos que estaban interesados en general (no localmente ruta de acceso conectado) espacios métricos.

Quiero sugerir que este proceso de remoción es relevante para la introducción de cohomology y su producto. (Cf. Dieudonné "la Historia de algebraica y diferencial topología", pp 78-81). No voy a responder directamente a las preguntas, pero sugieren que una de las motivaciones para cohomology vino de una aplicación de Pontryagin la dualidad que se ha hecho obsoleto por la nueva teoría.

Alexander escribió su conferencia de Moscú de hablar, con las mejoras sugeridas por Cech, en 1936 Anales de papel (vol. 37 no. 3) (JSTOR enlace). En ella, se propone la cohomology anillo ("la conectividad de los anillos"), fundamental para el homológica invariante de un espacio. En la introducción se alude a la línea de pensamiento que lo llevó a la cohomology anillo. La relación entre los ciclos y formas diferenciales se menciona (sin citación de de Rham), pero lo que parece más sorprendente moderno ojos es el comentario de que la teoría de los ciclos "ha sido muy perfeccionada por Pontrjagin los ciclos con coeficientes reales reducido modulo 1".

Pontryagin recientemente había desarrollado su teoría de la dualidad para localmente compacto abelian grupos (Anales, 1934) con el fin de aplicarlo a la dualidad de Alexander (de nuevo, Anales, 1934). Si $K$ es un compacto poliédrica, compleja en $\mathbb{R}^n$, hay una vinculación de la forma en la cual se da una vinculación entre el $k$-ciclos de $K$ e $(n-k-1)$-ciclos de $\mathbb{R}^n-K$ y, en términos modernos, induce un isomorfismo de $H_k(K)$ con $H^{n-k-1}(\mathbb{R}^n-K)$. Alexander de la formulación de equiparar los números de Betti sobre un campo (mod 2, inicialmente - Dieudonné p. 57) de $K$ y su complemento, pero se entiende que el pleno de la homología de grupos de $K$ e $\mathbb{R}^n-K$ no necesita ser isomorfos. Pontryagin demostró que si uno toma un Pontryagin-doble par de métrica abelian grupos, decir $\mathbb{Z}$ e $\mathbb{T}$, por lo que cada uno es el grupo de personajes de la otra, entonces el $H_k(K;\mathbb{T})$ es Pontryagin-dual a $H_{n-k-1}(\mathbb{R}^n-K;\mathbb{Z})$ a través de la vinculación de la forma.

De Alejandro de la introducción:

Ahora, si hacemos uso de Pontrjagin los ciclos, el $k$th conectividad [homología] grupo de un compacto, espacio métrico se convierte en un compacto, métrica grupo. Por otra parte, por un teorema de Pontrjagin, cada grupo puede ser identificado con el grupo de personajes de un contable, grupo discreto. Esto sugiere inmediatamente la conveniencia de considerar el grupo discreto, en lugar de su equivalente (aunque más complicado) métrica grupo de personajes como el $k$th invariante de un espacio.... Una clara ventaja de tomar los grupos discretos...como la base fundamental de la conectividad de los grupos de un espacio que podemos tomar el producto...de dos elementos de la misma o de diferentes grupos.

Guiados por Pontryagin la generalización de su propio teorema de la dualidad, Alexander se encuentra una construcción simple que reemplaza Pontryagin como un básico invariante. (El universal coeficiente teorema da una perspectiva moderna sobre el por qué de Pontryagin la elección del coeficiente de grupos de trabajos. Debo admitir, su formulación de la dualidad es muy limpia).

¿Alguien puede comentar la prueba de Kolmogorov ruta cohomology?

AÑADIDO. En la obstrucción de la teoría: Charles Matthews comentarios de llamar la atención a una de 1940 papel de Eilenberg. El MathSciNet la revisión de ese documento (por Hurewicz, cuya homotopy grupos, útil para la obstrucción de la teoría, fecha a partir de la 1935-36) puntos de mí a su 1937 precursor de Whitney, "Los mapas de una $n$-el complejo en un $n$-esfera" (Duque M. J. 3 (no.1), 51-55). Este trabajo también fue presentado en la conferencia de Moscú en 1935. A pesar de que el tema es diferente, Whitney introducción de cerca se asemeja a la de Alejandro:

Las clases de mapas de una $n$-el complejo en un $n$-esfera fueron clasificados por H. de Hopf en 1932. Recientemente, Hurewicz [1935-6] se ha extendido este teorema mediante la sustitución de la esfera más general de espacios. Freudenthal [1935] y Steenrod han señalado que el teorema y la prueba son simplificado mediante el uso de números reales reducido mod 1 en lugar de enteros como los coeficientes de las cadenas consideradas. Vamos a dar aquí una declaración de que el teorema de la que parece más natural; la prueba es muy simple.... La herramienta fundamental del trabajo es la noción de "coboundary"; se ha llegado a la fama en los últimos años.

Answer 2

Como nos explicó por Alan Mayer, gavilla cohomology es una generalización de la cech cohmology. Me pareció muy útil.

En cuanto a la pregunta de cómo ordinaria cohomology se levantó, Hermann Weyl implica en la versión revisada de su libro el Concepto de una superficie de Riemann, que es una generalización de la de Weierstrass, Hensel,y Landsberg enfoque de las superficies de Riemann, centrándose primero en el comportamiento de las integrales, y pasar de eso a deducciones acerca de los caminos de la integración.

Bott también se utiliza para decir que una cocyle fue "algo que pasa por encima de un espacio y cuando ve un ciclo, se abalanza sobre él y escupe un número". Tal cosa entonces dijo fue provisto por una integral, y pasó a introducir de Rham cohomology como la mayoría de tipo natural. Así que él también parecía sugerir que el ejemplo fundamental que da lugar a cohomology era clásica de la integración sobre los ciclos.