Mi pregunta tiene una respuesta negativa.
Lema. Supongamos $X$ tiene la aproximación de la propiedad (AP), $Y$ es un subespacio de $X$, e $X/Y$ falla la AP. Entonces existe un operador nuclear $T$ a $X$ s.t. $TX\subset Y$, $T^2=0$, y $tr(T)=1$.
Supongamos que usted tiene $X$, $Y$, $T$ como en el lema y $Y$ tiene el AP. Definir $a:X\to Y$ a $T$ considera como un operador en $Y$ y deje $b:Y\to X$ ser la inclusión del mapa. A continuación, $ba=T$ tiene traza de uno, sino de $ab=0$.
Los expertos verá de inmediato que usted puede darse cuenta de la situación en el párrafo anterior dejando $Z$ ser un James-Lindenstrauss espacio s.t. $Z^{**}/Z$ falla la AP, mientras que $Z^{**}$ e $Z$ tienen bases de Schauder. Más notable es que usted puede incluso tener $X=\ell_p$ con $1<p<2$ e $Y$ isomorfo a $\ell_p$. Esto fue demostrado por A. Szankowski hace un par de años.
El lema es fácil: Desde $X/Y$ falla la AP, por Grothendieck la clásica caracterización de la AP no es absolutamente un summable secuencia $f_n$ en $(X/Y)^*$ y una secuencia $z_n$ en el abrir de la unidad de la bola de $X/Y$ s.t. para todos $z\in X/Y$, $\sum \langle f_n, z \rangle z_n=0$ pero $\sum \langle f_n, z_n \rangle =1$ (es decir, la traza del operador cero en $X/Y$ no está bien definido). Deje $Q$ ser el cociente de asignación de $X$ a $X/Y$ y consigue $x_n$ en la unidad de la bola de $X$ s.t. $Qx_n=z_n$. Definir un operador nuclear $T$ a $X$ por
$Tx = \sum Q^*f_n(x) x_n$.
$QT=0$ porque $\sum \langle f_n, z \rangle z_n=0$ para todos los $z\in X/Y$ y, por tanto,$TX \subset Y$.
$T_{|Y} =$ porque $Q^*$ rangos en el aniquilador de $Y$ en $X^*$ y, por tanto,$T^2=0$.
Finalmente, $tr(T)= \sum \langle Q^*f_n, x_n \rangle =\sum \langle f_n, z_n \rangle =0$.
Esta construcción se plantea más preguntas que respuestas. Por lo que los espacios de Banach $X$ e $Y$ hay una respuesta afirmativa a la pregunta de seguimiento? El único resultado positivo que veo es cuando uno de los espacios es un espacio de Hilbert y el otro es débil a un espacio de Hilbert en el sentido de Pisier. La respuesta afirmativa de la siguiente manera porque Pisier demostrado que la Lidskii traza fórmula es válida para los operadores nucleares en una débil espacio de Hilbert cuyos autovalores son absolutamente summable (un viejo que debido a Konig, Maurey, Retherford y me dice que en cualquier espacio de Banach que no es isomorfo a un espacio de Hilbert, hay un operador nuclear cuyos autovalores son no summable, por lo que no es claro que la traza pregunta tiene una respuesta afirmativa al $X$ e $Y$ son tanto los espacios de Hilbert).
AÑADIDO 10/24/11: El papel de Szankowski he mencionado es
Szankowski Un (2009)
Tres problemas de espacio para la aproximación de la propiedad.
J. Eur. De matemáticas. Soc., 11(2): 273-282.
Aunque obvio, debería haber mencionado que a partir de la respuesta negativa a la pregunta de $X=Y=\ell_p$, $1<p<2$, por la dualidad también se obtiene una respuesta negativa para $X=Y=\ell_p$, $2<p<\infty$.
