¿Problemas importantes de exposición abierta?

Question

Timothy Chow, en su artículo Guía para principiantes sobre el forzamiento define un problema de exposición abierta como un determinado concepto o tema de las matemáticas que aún no ha sido explicado "de manera que lo haga totalmente perspicuo".

¿Cuáles son algunos de los problemas de exposición abiertos en su campo, en particular los que cree que ayudarían a los matemáticos interesados a introducirse en él?

Por ejemplo, no faltan referencias sobre la teoría de la homotopía cromática -- Ravenel's Verde y Naranja libros, Lurie's notas del curso y la de Hopkins COCTALOS notas. Sin embargo, no parece haber una exposición completa, fluida y cuidadosamente elaborada de la historia cromática que no asuma ni demasiada teoría de la homotopía ni geometría algebraica.

Answer 1

Yo nombraría la teoría de Polinomios de Macdonald (y temas asociados). Se trata de un área extremadamente importante de la combinatoria algebraica. Incluso si nos restringimos al tipo A, hay ciertas características del tema que son intrínsecamente complicadas, pero sin embargo, el aprendizaje de este tema es actualmente mucho más difícil de lo que debe ser OMI. La monografía de Haglund es ciertamente útil porque da cuenta claramente de gran parte del lado puramente combinatorio de la teoría, pero su objetivo no era dar una cuenta completa de los polinomios de Macdonald.

Hace poco descubrí el diapositivas para una charla de Ole Warnaar que dan una introducción muy agradable. Resuelven un aspecto importante del problema de la exposición, que consiste en construir una historia atractiva que pueda servir de columna vertebral para una exposición más completa. Por supuesto, las diapositivas en sí mismas sólo arañan la superficie.

Answer 2

Esta es una pregunta interesante.

Respondiendo de lado, puedo dar una cerrado problema de exposición, a saber, la conjetura de Kepler. Aquí hay una charla de Thomas Hales:

Lecciones aprendidas de la demostración formal de la conjetura de Kepler

Creo que es interesante verlo. Parte de la charla es que la primera prueba, la que se presentó a Annals of Mathematics y que tardó siete años en ser revisada, era difícil incluso para los especialistas. Esto no sólo se debía a la inmensa cantidad de datos computacionales en los que se basaba la prueba, sino también a la naturaleza de la propia prueba. Cuando Hales tuvo que reescribirla para hacerla apta para el tratamiento formal, se sorprendió al descubrir cuánto tiempo pasó en el terreno de las matemáticas (para usar sus palabras). Se obtuvieron nuevas ideas y, de hecho, se resolvieron otras conjeturas pendientes como subproducto de este trabajo. La nueva prueba resultante, que Hales denomina "prueba del plano", es muy diferente a la original en todos los aspectos. Es más estructurada, más corta y más sencilla.

Si alguien sugiriera abordar la prueba original, correría una milla. ¿Pero la nueva prueba, la del proyecto? Puede que algún día lea algo de ella y tengo la esperanza de que su parte inferior no me supere. En resumen, no me intimida. Así que diría que la conjetura de Kepler solía ser un problema de exposición abierto, pero ahora, debido a la prueba del proyecto, ¡está cerrado!

Answer 3

Un estudio combinatorio de los pfaffianos, según lo solicitado por Peter Heinig en MathOverflow #280362 . Debería incluir cosas como la fórmula de la suma menor y los análogos de varias identidades determinantes.

Answer 4

Tengo dos cuestiones de exposición abiertas que espero abordar algún día (por desgracia, tengo una larga lista de problemas tanto de investigación matemática como pedagógicos que merecen atención, pero este tipo de cuestiones es divertido porque está en la intersección de estas áreas). Uno de ellos es dar un tratamiento a nivel de cadena de la dualidad de Poincaré a través de la teoría de la intersección y, a continuación, utilizarlo para dar refinamientos geométricos a nivel de cadena de gran parte de la topología algebraica "intermedia": mapas erróneos, clases características, isomorfismo de Thom, operaciones de Steenrod, secuencia espectral de Eilenberg-Moore. Una segunda es tratar los espacios de bucles y los espacios clasificatorios de una forma más unificada, desde cero (título del curso: "Loop, de-loop".) Esto ampliaría mi pequeño documento expositivo sobre la dualidad de Koszul .