¿Cuáles son las aplicaciones del Teorema del Valor Medio?

Question

Estoy pasando por mi primer año de enseñanza de Cálculo AP. Una de las cosas que me gusta hacer es inculcar a mis alumnos por qué los temas que introduzco son interesantes y relevantes para el panorama general de la comprensión de la naturaleza del cambio.

Dicho esto, aunque sé que el Teorema del Valor Medio es uno de los hechos centrales en el estudio del cálculo, no tengo muy claro por qué. Siento que es un poco como el IVT para las derivadas de una función continua y diferenciable. Pero siento que lo único que hice con ella cuando estudié Calc es identificar el punto donde la tangente era paralela a la secante de los extremos. Si la clase hubiera sido un poco más pequeña o yo hubiera sido un poco más audaz, podría haber levantado la mano y preguntarle al profesor "¿Y qué?". Pero no lo hice, así que aquí estamos.

Para que quede claro, no estoy defendiendo en absoluto que el MVT no sea crítico, así que no pienso que las respuestas se basen en opiniones. Pero, ¿podría discutir algunos usos de la MVT que justifiquen el elevado lugar que ocupa en el plan de estudios?

Answer 1

Cuando enseño el MVT en una clase de Cálculo, hago tres cosas:

a) Mostrar el único ejemplo del mundo real que conozco y que todo el mundo entiende: La policía tiene dos controles de radar en una autopista, digamos en el kilómetro $11$ y en el kilómetro $20$ . El límite de velocidad es $70$ km/h. Miden a un camión que pasa por el primer control, a las 11.11 horas, a $65$ km/h, y pasando por el segundo control a las 11.17 horas, a $67$ km/h. Le ponen una multa por exceso de velocidad. ¿Por qué?

Deja que la clase piense en esto. Cada vez que he enseñado esto, alguien se ha dado cuenta al poco tiempo de que el camión pasaba $9$ km en $6$ minutos, por lo que su velocidad media era $90$ km/h. Entonces alguien dice algo como: no puede ir a una velocidad media de $90$ km/h sin ir nunca a una velocidad de $90$ km/h (y ciertamente no sin ir nunca más allá de $70$ km/h). Esto es totalmente de sentido común, pero también es exactamente el MVT. Dibuja un gráfico de la función de posición, date cuenta de que los números $65$ y $67$ eran sólo pistas falsas (pendientes tangentes en los puntos finales, irrelevantes para el argumento), discute si hay alguna salida: ¿Puede la función tener discontinuidades? Bueno, una discontinuidad de salto sería un agujero de gusano por el que cayera el camión, o más realistamente algún atajo fuera de la carretera que también sería ilegal. ¿Puntos donde la derivada no existe? En realidad sí, si el camión frenó en alguna parte, pero no puede haberlo hecho más que un número finito de veces, y entonces descomponemos el problema en subintervalos. Resulta que: No, ni siquiera una frenada brusca puede crear un "giro brusco" de la función bajo los supuestos estándar de la física, ver los comentarios de los usuarios @leftaroundabout y @llama.

b) Mencionar que aparte de eso, es un "teorema del caballo de batalla" que nunca vemos pero que hace que toda la rutina de trazado de curvas funcione . ¿Cómo se demuestra Derivada positiva significa función creciente con el MVT. ¿Cómo se demuestra Derivado $0$ en un intervalo significa constante con el MVT. Por supuesto, nunca pensamos en las pruebas de estos, sólo los usamos como "conocidos", pero sin MVT, no estarían allí.

c) En relación con b, surge de forma crucial en el Teorema fundamental más tarde, compare la respuesta de Arturo Magidin. Lo señalo cuando estoy allí.

Añadido : Como esta respuesta parece recibir mucha atención, quiero poner una cosa más parte de la cual trato de transmitir en clase cuando el MVT.

d) La derivada es una cosa genial porque lleva mucha información sobre la función original, pero de forma sutil. Para los no iniciados, las gráficas de una $f$ y $f'$ la mayoría de las veces se vería totalmente sin relación. Pero los iniciados, es decir, su clase de cálculo, en este punto ya deberían "entender" intuitivamente "hmm, $f'$ es muy negativo por aquí, así que $f$ debe disminuir con una pendiente pronunciada en este barrio". Ahora el MVT es el único teorema que une los números reales a esta intuición Es decir, es el primer resultado que da una relación explícita (aunque sutil) entre los valores de $f$ y los valores de $f'$ . Por eso subyace en las pruebas de toda la maquinaria de fantasía que, más tarde, da relaciones aparentemente mucho más fuertes entre $f$ y $f'$ Como el trazado de curvas, el teorema fundamental, las series de Taylor e incluso las reglas de L'Hôpital (gracias a @JavaMan por señalar esta). Se llevan todo el protagonismo, pero en cierto modo, todas son versiones refinadas de aplicaciones repetidas de la MVT más condiciones especiales.

---

Nueva actualización: Como la aplicación del MVT para "acelerar" sigue siendo mencionada en todas partes (y, por supuesto, ni siquiera recuerdo de dónde la saqué originalmente), he buscado un poco en Google y veo que lleva bastante tiempo en circulación. Este vídeo educativo de los MAA de 1966 es casi de valor histórico (aunque apenas entiendo la voz en off debido a su muy americano acento). En cuanto a la pregunta de si esto se hace realmente, gracias al usuario Bracco23 por proporcionar una fuente de Italia en un comentario. Aquí hay otra de Escocia: http://news.bbc.co.uk/2/hi/uk_news/scotland/4681507.stm En Internet hay más rumores y debates: 1 2 3 .

Answer 2

En cuanto a la razón por la que se enseña a los estudiantes el Teorema del Valor Medio en Cálculo 1, creo que a menudo se oscurece porque suelen no muestra una demostración del Teorema Fundamental del Cálculo. Pero el Teorema del Valor Medio es un paso clave en la demostración de la primera parte del Teorema Fundamental del Cálculo. Si quieres demostrar la primera parte del Teorema Fundamental del Cálculo, la forma más sencilla es utilizar el MVT:

Es decir, para calcular la integral $\int_a^b f'(x)\,dx$ , elija una partición del intervalo $[a,b]$ , $a=x_0\lt x_1\lt\cdots\lt x_n=b$ . Queremos seleccionar puntos $x_i^*$ , $x_{i-1}\leq x_i^*\leq x_i$ para hacer la suma de Riemann $$\sum_{i=1}^{n}f'(x_i^*)(x_i-x_{i-1}).$$ Por el Teorema del Valor Medio, existe un punto $x_i^*$ en $[x_{i-1},x_i]$ tal que $f'(x_i^*)(x_{i}-x_i) = f(x_i)-f(x_{i-1})$ . Así que elige esos puntos para que la suma de Riemann se convierta en $$\sum_{i=1}^n f'(x_i^*)(x_i-x_{i-1}) = \sum_{i=1}^n (f(x_i)-f(x_{i-1}))$$ que es una suma telescópica que equivale a $f(x_n)-f(x_0) = f(b)-f(a)$ .

Como toda suma de Riemann puede ser seleccionada para que sea igual a $f(b)-f(a)$ el límite a medida que el tamaño de la malla llega a cero es $f(b)-f(a)$ , lo que demuestra que $$\int_a^b f'(x)\,dx = f(b)-f(a),$$ la primera parte de la FTC.

(Hay otras formas de probar la primera parte del CCL, por ejemplo, utilizando la segunda parte, pero esto sigue siendo una carretera importante para el CCL).

En cuanto a la "motivación", está la clásica: si conduces a una velocidad media de 100 km/h, ¿hay necesariamente un instante en el que tu velocidad instantánea ¿es exactamente 60 mph? En otras palabras, ¿es razonable esta noción de "tasa de cambio instantánea" en comparación con nuestra noción mucho más sensata de "tasa de cambio media"?

En definitiva, si uno no va a probar el FTC, entonces hay un argumento para no enfatizar (o repasar) el MVT; aunque confieso que al no haber tomado el curso de física pertinente, no soy consciente de si es necesario el MVT en alguna parte del plan de estudios de física paralela de la dinámica.

Answer 3

Hablo como una persona que trabajó con las matemáticas con el enfoque típico de los ingenieros durante muchos años, antes de decidir volver a las matemáticas y estudiarlas a fondo por mí mismo. Lo que me resultaba ilusorio era en realidad la siguiente "cadena"

1. Axioma de integridad
2. Teorema del valor extremo
3. Teorema de Rolle

En cierto modo "veo" el Teorema del Valor Medio como una consecuencia directa del Teorema de Rolle, en el sentido de que si $f(x)$ satisface las hipótesis de MVT en $[a,b]$ entonces $g(x)=f(b) -f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(b-x)$ satisface las hipótesis del Teorema de Rolle en $[a,b]$ y de ahí su demostración. Utilice en su lugar $h(x) = f(b)-f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}(g(b)-g(x))$ y demostrarás la generalización de Cauchy de la MVT.

Como en otros comentarios y respuestas, es fascinante que un uso repetido de MVT lleve a un instrumento tan poderoso como el polinomio de Taylor.

Answer 4

Supongamos que $f$ es una función constante. Entonces su derivada es cero. Esto se deduce directamente de la definición.

Supongamos que $f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ satisface $f'(x) = 0$ para todos $x$ . Debe $f$ sea una función constante?

La respuesta es sí. Porque para cualquier $x \in \mathbb{R}$ existe $t$ entre $0$ y $x$ tal que $$ f(x) = f(0) + x f'(t) $$ pero $f'(t) = 0$ Así que $f(x) = f(0)$ .

El Teorema del Valor Medio (o Teorema de Rolle, pero el MVT es más flexible) es el teorema fundamental que relaciona la información sobre la derivada de una función con la función original.

Answer 5

Permanecer en el aula: Mirar hacia adelante para su uso en una demostración del teorema de Taylor es probablemente la mejor respuesta para un estudiante de primer año de cálculo, dada la importancia de ese teorema. También aparece todo el tiempo en la derivación de varias fórmulas tanto en el cálculo monovariable como en el multivariable, al menos la heurística que $f(x+h)-f(x)\approx hf'(x)$ aunque no se necesita el teorema del valor medio para esta expresión.

Pero los ejemplos de la vida real abundan: uno de los que he tenido éxito en la enseñanza es un método para poner multas por exceso de velocidad en Italia (y probablemente en otros lugares). El coche de uno es fotografiado en el punto $a$ en el momento $t_0$ y luego de nuevo en el tiempo $t_f$ en el punto $b$ . A partir de esta información, y del teorema del valor medio, son capaces de detectar a los que han acelerado. Por supuesto, esto no tiene en cuenta las paradas de 20 minutos que hacen algunos aceleradores.