¿Por qué la definición de los grupos superiores de homotopía es la "correcta"?

Question

Si alguien me preguntó la pregunta para el grupo fundamental, yo diría de la siguiente manera:

1. La conexión a la clasificación de cubrir los espacios.
2. El grupo fundamental de muchos de los espacios es un objeto de interés independiente. Por ejemplo, para una curva Elíptica sobre los números complejos, el grupo fundamental es la celosía de la definición de la curva o, equivalentemente, que está relacionada con la torsión de los puntos de la curva.
3. Relacionados con la 1, la media aritmética fundamental del grupo es estrechamente relacionados y la aritmética fundamental del grupo es en sí mismo muy importante. Por ejemplo, los grupos de Galois de campos es un ejemplo.
4. El grupo fundamental de ofertas muy natural las pruebas de los teoremas fundamentales como el teorema fundamental del álgebra.

Sin embargo, para la mayor homotopy grupos, la mejor respuesta que podría dar sería algo a lo largo de las líneas del largo de la secuencia exacta de homotopy grupos]1 para fibrations. Tal vez el Hurewicz teorema es también una respuesta a mi pregunta, salvo que creo que el Hurewicz teorema se utiliza generalmente para obtener información acerca de la homotopy grupos de la homología de grupos. Si esto no es cierto, que sería una interesante respuesta.

Estoy casi seguro de que este es completamente debido a mis antecedentes (en aritmética geometría) y la falta de entrenamiento formal en topología algebraica y que la mayor homotopy grupos son, de hecho, un objeto natural para el estudio.

Idealmente, agradecería respuestas que conectar la mayor homotopy grupos importantes de invariantes de los espacios que fueron ya estudiados (1,2, 3, arriba) o pruebas de las declaraciones no se trata de la mayor homotopy grupos que sin embargo el uso de la mayor homotopy grupos en una forma esencial (4 arriba y supongo que el largo de la secuencia exacta viene aquí).

Answer 1

Creo que la obstrucción de la teoría es una de las razones más importantes para el estudio de homotopy grupos. Si usted está interesado en el estudio de la posible homotopy clases de mapas de $X \to Y$ de los espacios donde se $X$ tiene el homotopy tipo de un CW-complejo, obstrucción de la teoría le da un método para hacerlo por la construcción de ésta forma iterativa en skeleta. Usted obtener obstrucciones en el cohomology grupos $$ H^{s+1}(X; \pi_s(Y)) $$ que dicen si tu parcial de la construcción puede ser extendido, y se obtiene de la diferencia de clases en la cohomology grupos $$ H^s(X;\pi_s(Y)) $$ que dirá cuántos fundamentalmente diferentes extensiones que usted puede conseguir. (Estoy simplificando ligeramente asumiendo $Y$ es simplemente conectado.) Hay también en relación versiones de este, que le permiten asumir que el mapa ya está definido en un subespacio de $X$ o que están tratando de hacer este mapa es compatible con los mapas de $X$ e $Y$ a un espacio fijo $Z$.

Me gusta pensar en ello de esta manera. La (co)homología de $X$ normalmente nos dice la información acerca de cómo $X$ está construido usando las células básicas $S^n$ e $D^{n+1}$, mientras que el homotopy de $Y$ nos indica las posibles maneras en que los básicos de las células puede ser asignada en. Los dos son naturales contrapuntos el uno al otro una vez que hemos resuelto en "células" como nuestro bloques de construcción.

Answer 2

El cálculo de el anillo de los colectores hasta cobordism fue posible gracias a la identificación de este anillo con la homotopy grupos de ciertos Thom espacios y, a continuación, la aplicación de métodos de homotopy teoría.

El homotopy grupos de clasificación de los espacios como $BO$ e $BU$ son muy importantes debido a su conexión con topológica de la K-teoría.

Y a día de hoy la única manera de definir superior algebraica de K-teoría de los grupos de un anillo es como el homotopy grupos de algunos (bucle infinito) de espacio. Por supuesto, usted puede preguntar acerca de la importancia de la mayor algebraica de K-teoría, pero ese es un tema para otro hilo. Y, por supuesto, los métodos de homotopy teoría han sido de gran utilidad en el cálculo algebraico de la K-teoría.

Answer 3

Hay muchas cosas que decir aquí. Aquí tienes uno. Supongamos que usted desea clasificar todos los espacios hasta la (débil) homotopy equivalencia, o de forma equivalente, todas las CW complejos hasta homotopy de equivalencia. El cero de paso es la clasificación de los componentes conectados de un espacio, por lo que a partir de ahora vamos a suponer que $X$ está conectado. El primer paso es entender la acción de la $\pi_1(X)$ en su cobertura universal; esto es muy complicado, por lo que vamos a ignorar completamente, y a partir de ahora vamos a suponer que $X$ es simplemente conectado.

$X$ puede ser entendido por romper hacia abajo en lo que se llama la torre de Postnikov; esta es una secuencia de mapas

$$\cdots \to X_{\le 3} \to X_{\le 2} \to X_{\le 1}$$

donde $X_{\le n}$ es el $n$-truncamiento de $X$, un espacio canónicamente construido $X$ que tiene el mismo $n$ homotopy grupos, pero cuya homotopy grupos de desaparecer por encima de $n$. La relación entre las diferentes etapas de la torre de Postnikov puede ser entendido de la siguiente manera. En cada etapa, hay una secuencia de fibra

$$B^{n+1} \pi_{n+1}(X) \to X_{\le n+1} \to X_{\le n}$$

donde $B^{n+1} \pi_{n+1}(X) = K(\pi_{n+1}(X), n+1)$. Para $n \ge 2$ esta fibra secuencia resulta ser clasificadas por un mapa de $X_{\le n} \to B^{n+2} \pi_{n+1}(X)$, o, equivalentemente, por un cohomology de clase

$$k_n \in H^{n+2}(X_{\le n}, \pi_{n+1}(X))$$

llama la $n^{th}$ k-invariantes de Postnikov de la torre. Estos pueden ser considerados como nonabelian análogos de clases en Ext grupos de la clasificación de las extensiones.

En principio, entonces, uno puede aspirar a clasificar a los espacios por parte de la primera clasificación de su homotopy grupos y, a continuación, la clasificación de sus k-invariantes. A grandes rasgos, lo que la torre de Postnikov revela es que

simplemente conecta los espacios son de todos", reiteró extensiones" de Eilenberg-MacLane espacios

y que Eilenberg-MacLane espacios aparecen es determinado por el homotopy grupos de $X$. Esto es generalmente difícil de hacer para los espacios, pero la misma historia puede ser aplicado a los espectros y todo tipo de otras cosas, incluyendo los complejos de la cadena.

Ejemplo. Supongamos que queremos clasificar simplemente se conecta $3$-truncado espacios de $X$; es decir, espacios cuya única trivial homotopy grupos se $\pi_2$ e $\pi_3$. Esto es equivalente a la de varias otras clasificaciones, a saber:

• la clasificación de los conecta simplemente a $3$-groupoids,
• la clasificación de los conectados $2$-grupos (después de tomar el bucle de espacios),
• la clasificación de grouplike trenzado monoidal groupoids (después de tomar el bucle de plazas de nuevo).

Un espacio de $X$ con esta propiedad tiene una muy simple torre de Postnikov; cabe en una sola fibra secuencia

$$B^3 \pi_3(X) \to X \to B^2 \pi_2(X)$$

el cual está clasificado por una sola k-invariante, es decir, un cohomology de clase en $H^4(B^2 \pi_2(X), \pi_3(X))$. Este cohomology grupo puede ser muy explícitamente entendido: resulta ser precisamente el grupo de $\pi_3$valores de la formas cuadráticas en $\pi_2$. Como un invariante conectado directamente a $X$, de esta forma cuadrática es una homotopy operación $\pi_2(X) \to \pi_3(X)$, representado por el mapa de Hopf, que es una ecuación cuadrática refinamiento de la Whitehead soporte.

Por ejemplo, el $3$-truncamiento $\tau_{\le 3}(S^2)$ de la $2$-esfera es un simplemente se conecta $3$-espacio truncado con $\pi_2 = \pi_3 = \mathbb{Z}$. Por lo tanto se clasifica por una forma cuadrática $\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$, que resulta ser el obvio adivinar $x \mapsto x^2$.

Anteriormente, cuando digo "$3$-groupoid" me refiero a los "débiles $3$-groupoid." La diferencia entre este y el "estricto $3$-groupoid" resulta ser que el k-invariante de arriba siempre se desvanece por un estricto $3$-groupoid; la conclusión es que, por ejemplo, no estricto $3$-groupoid modelos de la homotopy tipo de la $3$-truncamiento de $S^2$.