¿Demostrar la descomposición de Hodge sin usar la teoría de los operadores elípticos?

Question

En el común de Hodge de la teoría de los libros, los autores suelen citar otras fuentes para la teoría de la elíptica de los operadores, como en el Libro acerca de la Teoría de Hodge de Claire Voisin, donde se encuentra en la página 128 el Teorema 5.22:

Sea P : E → F una elíptica diferencial de operador en un compacto colector. Suponga que E y F son del mismo rango, y están equipadas con las métricas. Entonces Ker P es finito-dimensional subespacio de las secciones suaves de Correo y la mensajería instantánea P es un subespacio cerrado de finito de codimension de las secciones suaves de F y tenemos una L2-ortogonal suma directa de descomposición:

suave secciones de E = Ker P ⊕ Im P*

(donde P* es el formal de la L2-adjoint de P)

En el caso de la Teoría de Hodge, consideramos que la elíptica auto-adjunto del operador Δ, el Laplaciano (o: Hodge-Laplaciano, o de Laplace-Beltrami operador).

Una prueba de este teorema se encuentra en los Pozos' "Análisis Diferencial en los Complejos Colectores", Capítulo IV -, pero se tarda unos 40 páginas, lo cual es bastante poco de esfuerzo!

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Ahora que estoy aprendiendo la teoría de la elíptica operadores (en parte, porque quiero parche esta brecha en mi comprensión de la Teoría de Hodge), me pregunto si este "análisis funcional" en realidad es siempre necesario.

¿Sabe usted de cualquier clase de complejos colectores (probablemente algún restringida clase de complejo de variedades proyectivas) donde se puede obtener el teorema anterior sin el uso de la teoría de la elíptica operadores (o al menos, donde se puede simplificar las pruebas de que mucho de lo que no te das cuenta de que estás trabajando con elíptica operadores)? Quizás el teorema realmente requiere el análisis funcional (me lo creo), pero la descomposición de Hodge podría seguir de otros argumentos.

Yo sería muy feliz de ver a algunos de los argumentos que prueben casos especiales de Hodge de descomposición, por ejemplo, en superficies de Riemann. Yo sería aún más feliz de escuchar por qué esto es inverosímil (esto me motiva a aprender más acerca de estos fascinantes elíptica operadores diferenciales).

Si esto termina siendo argumentativo y subjetiva, siéntase libre de usar el wiki de la comunidad de martillo.

Answer 1

Esta es la revisión final y probablemente mi último post por un largo tiempo (plazos). Yo quería escribir una respuesta más definitiva, acerca de cómo acercarse a la Hodge teorema, ya que he de pensar en ello durante un tiempo. Esta un poco largo. Así que el resumen es que no hay realmente un camino fácil, pero cada uno es hermoso a su propia manera.

Método 1 (proyecciones ortogonales): Este es el estándar de la prueba, aunque hay muchos las variaciones que se pueden encontrar en Griffiths-Harris, Warner, Pozos,... He aquí una idea muy aproximada. El problema básico es para mostrar que el espacio de $closed(X)$ cerrado de $C^\infty$ de las formas en un diseño compacto de Riemann colector $X$ es una suma directa de el espacio de las formas exactas $exact(X)$ y el espacio de la armónica de las formas $harm(X)$. Una forma cerrada es armónica si y sólo si es ortogonal a la forma cerrada (fácil), así que uno podría intentar probar, primero, que

$$closed(X)= exact(X)\oplus exact(X)^\perp$$

y, a continuación, identificar el último con $harm(X)$. Ya que estos son infinitas dimensiones, la la descomposición no es automática. Sin embargo, uno puede hacer el trabajo por el uso de $L^2$ de las formas y aplicación de espacio de Hilbert métodos para obtener:

$$\overline{closed(X)}= \overline{exact(X)}\oplus \overline{exact(X)}^\perp$$

Pero al final uno quiere volver a $C^\infty$ formas, y aquí es donde la magia de la elíptica operadores que viene. El resultado básico que hace a este trabajo es la regularidad teorema: una débil solución de la ecuación elíptica, e.g de Laplace de la ecuación, es de hecho un verdadero $C^\infty$ solución. El espacio de la derecha de la segunda descomposición es, por tanto,$harm(X)$, y este es todo lo que uno necesita.

Como usted ha dicho, los detalles completos implica un poco de trabajo, pero uno puede mirar estándar libros sobre superficies de Riemann (Farkas-Kra, Forster, Narasimhan...) para algunos instructivo casos especiales.

Método 2 (Ecuación del Calor): La heurística es que si se piensa de la forma cerrada como una temperatura inicial, y que se rige por la ecuación del calor, se debe evolucionar hacia una armónica de estado estacionario. Lo bueno es que esto puede ser resuelto expresamente en el espacio Euclidiano, y esto le da una buena (corto tiempo) la aproximación para el caso general. Si me pueden hacer un enchufe descarado, escribí un outine en el capítulo 8 de mis notas

http://www.math.purdue.edu/~dvb/memorias/libro.pdf

Método 3 (Deligne-Illusie): Esto es realmente una amplificación de Kevin Lin respuesta. Una consecuencia importante de la teoría de Hodge es la degeneración de la Hodge de De Rham espectral de la secuencia $$H^j(X,\Omega_X^i) \Rightarrow H^{i+j}(X,\Omega_X^\bullet) = H^{i+j}(X,\mathbb{C})$$ al $X$ es suave y proyectiva, junto con Kodaira de fuga. La primera algebraicas prueba de ello fue debido a Falting (en el camino a Hodge-Tate). Deligne y Illusie dio un relativamente elemental de la prueba. Aunque como Ravi Vakil comentó, no es la mejor manera para primero aprender a hacer estas cosas. Ni tampoco da la plena Hodge la descomposición. Sin embargo, para las personas que quieran ir a esta ruta, una introducción dirigida a los estudiantes se puede encontrar en el libro de Hélène Esnault y finales de la década de Eckart Viehweg.

Addendum (añadido el 24 de junio): yo quería abordar brevemente la cuestión de cuánto de la descomposición de Hodge puede ser entendido de manera algebraica. Se puede definir algebraica de Rham cohomology con su Hodge filtración viene de la secuencia espectral por encima de. Lo que falta es puramente algebraica descripción de la "Betti celosía" $image [H^i(X,\mathbb{Z})\to H^i(X,\mathbb{C})]$ y el hecho de que el conjugado filtración $\overline{F}$ e $F$ se opuso en Deligne del sentido. El primer problema ya parece serio. Incluso si $X$ se define sobre $\mathbb{Q}$, una base para la celosía normalmente implica trascendentales. Esto ya es evidente en el ejemplo más sencillo $H^1(\mathbb{A}^1-\{0\})$, el entramado es atravesado por $[\frac{dz}{2\pi iz}]$.

Answer 2

Deligne-Illusie demuestra la degeneración de la secuencia espectral de Hodge-de Rham para variedades proyectivas lisas utilizando métodos puramente algebraicos. Entonces probablemente el resultado correspondiente en la categoría analítica sigue por GAGA o alguna cosa de este tipo.

Answer 3

La descomposición de Hodge se puede probar, en un entorno muy agradable, abstracto-funcional-análisis, en los llamados complejos Hilbert. En J. Funct, el Sr. Fréning y Lesch escribieron un excelente artículo sobre el tema. Anal., primero desarrollando la teoría sobre complejos arbitrarios de Hilbert, y luego discutiendo la aplicación a complejos elípticos.

Answer 4

La parte difícil de la prueba de la descomposición de Hodge (que es donde se utiliza el análisis funcional serio) es la construcción del operador del Verde. En la Sección 1.4 de las "Variedades Abelianas Complejas" de Lange y Birkenhake, prueban la descomposición de Hodge para el tori complejo usando un argumento fácil de la serie Fourier para construir el operador del Green.