Peskin y Schroeder dicen que la Identidad de Ward de la QED demuestra que las polarizaciones no transversales de los fotones pueden ser ignoradas de forma consistente, pero estoy confundido sobre los detalles.
Configurar
Se comienza considerando algún proceso con un fotón externo cuyo momento se elige como $k^\mu=(k,0,0,k)$ y que los dos vectores de polarización transversal sean $\epsilon_1^\mu=(0,1,0,0)$ y $\epsilon_2^\mu=(0,0,1,0)$ . La identidad de Ward nos dice que si la amplitud para el proceso es $\mathcal{M}=\mathcal{M}^\mu\epsilon_\mu(k)$ donde hemos factorizado el vector de polarización para el fotón externo en consideración, entonces la amplitud obedece a $\mathcal{M}^\mu k_\mu=0$ en la cáscara. Con nuestra configuración, esto simplemente nos dice $\mathcal{M}^0=\mathcal{M}^3$ . Si luego calculamos el cuadrado de la amplitud y sumamos sobre las polarizaciones externas encontraríamos $|\mathcal{M}|^2=\sum_{i\in\{1,2\}}\epsilon_{i\mu}\epsilon_{i\nu}^*\mathcal{M}^\mu\mathcal{M}^{*\nu}=|\mathcal{M}^1|^2+|\mathcal{M}^2|^2$ . Debido a la identidad de Ward, esto es igual a $-\eta_{\mu\nu}\mathcal{M}^\mu\mathcal{M}^{*\nu}$ y así podemos hacer la sustitución $\sum_{i\in\{1,2\}}\epsilon_{i\mu}\epsilon_{i\nu}\to -\eta_{\mu\nu}$ . Peskin y Schroeder afirman (pg 160-161) que esto es una prueba de que los fotones no transversales pueden ser ignorados sistemáticamente.
Preguntas múltiples
1) P&S parecen afirmar que si también sumáramos sobre las polarizaciones no transversales encontraríamos que la suma de polarizaciones se convierte simplemente en $-\eta_{\mu\nu}$ . Sin embargo, si utilizo los dos vectores $\alpha_1^\mu=(1,0,0,0)$ y $\alpha_2^\mu=(0,0,0,1)$ como base para las polarizaciones no transversales, entonces parecería que la suma de polarizaciones se convertiría en $\delta_{\mu\nu}$ en lugar de $-\eta_{\mu\nu}$ . ¿Cómo se sabe que debe haber un signo menos adicional para que $|\mathcal{M}^0|^2$ viene con un signo menos en relación con todas las demás amplitudes al cuadrado? Es decir, de alguna manera sabría que el cálculo correcto viene dado por $\sum_{\rm all\ polarizations}|\mathcal M|^2=\mathcal{M}^\mu\mathcal{M}^{*\nu}(\epsilon_{1\mu}\epsilon^*_{1\nu}+\epsilon_{2\mu}\epsilon_{2\nu}^*-\alpha_{1\mu}\alpha_{1\nu}^*+\alpha_{2\mu}\alpha_{2\nu}^*)$ pero no veo de dónde surge ese signo menos. Uno podría suponer que tendría que terminar con algo proporcional a $\eta_{\mu\nu}$ debido a la invariancia de Lorentz, pero eso no es muy satisfactorio. Por último, la suma de polarización es ingenuamente una suma de números manifiestamente positivos, pero el argumento de P&S depende de algún tipo de cancelación entre estos números, así que ¿cómo es posible?
2) ¿Qué pasa con los escenarios en los que no se realiza la suma de polarización? Pensaba que la suma de polarización sólo se realizaba cuando el detector era insensible a la polarización, lo que no siempre es el caso que nos ocupa. Habría pensado que se podría demostrar que la polarización no transversal no es física sin tener que hacer una suma de polarización. Por ejemplo, dado $\mathcal{M}^\mu$ Habría pensado que podríamos haber contraído esto con uno de los vectores de polarización no transversal, digamos $\alpha_2^\mu$ y deberíamos encontrar que la amplitud de este proceso se desvanece por sí misma.
3) ¿No deberíamos demostrar que también podemos ignorar los estados no transversales en todas las partes del diagrama, no sólo en los tramos externos? Si los estados no-transversales pueden correr en los bucles, entonces hay que incluirlos en los estados físicos iniciales y finales, debido al teorema óptico, que hay que evitar. ¿O es que P&S afirman que han demostrado que las polarizaciones no transversales pueden ser ignoradas en los estados iniciales y finales, por lo que por el teorema óptico también pueden ser ignoradas en los bucles?
