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La intuición detrás del análisis armónico en la teoría analítica de números

Hasta donde yo sé, en teoría analítica de números, el análisis armónico aparece a menudo. La cosa es que me gustaría ver la prueba de algunos de los resultados donde se utilice el análisis armónico, y puedo seguir el argumento de la prueba y tiene sentido, pero yo no tengo la intuición detrás de por qué uno podría considerar el uso de análisis armónico allí (aparte de que el uso de funciona...).

Por ejemplo, tal vez en una prueba de que uno tiene que calcular una suma de la forma$\sum f(n)$, por lo que tendrían que tomar la transformada de Fourier y el uso de sumación de Poisson fórmula o algo así y funciona. Yo entiendo que la prueba, pero sólo tengo ni idea de por qué fue el "derecho" cosa que hacer o por qué fue una buena cosa para intentar (distinta a la de curso que funcionó).

Sé que mi pregunta es muy vaga, pero me gustaría apreciar algunas explicaciones si es posible! También me gustaría tratar de modificar la pregunta de una mejor manera, si alguien tiene alguna sugerencia. Muchas gracias!

40voto

sdfwer Puntos 13

El análisis armónico es la teoría de las representaciones de grupos abelianos localmente compactos. Los enteros y el mod de enteros$n$ son esos grupos. Para los problemas relacionados con las funciones de estos grupos que están relacionadas con su estructura grupal, el análisis armónico es una herramienta natural.

33voto

Además el contenido de otros-ful respuestas y comentarios, especialmente para amplificar @ToddTrimble del recordatorio acerca de J. Tate tesis: no es ningún secreto que A. Weil, R. Godement, E. Artin, y K. Iwasawa había estado pensando acerca de la teoría de la representación de localmente compacto grupos de por lo menos una década antes de que Tate tesis. E. Artin del estudiante Margaret Matchett tesis de maestría en Indiana Univ. en 1946 ya se utiliza ideas similares, y K. Iwasawa ICM de hablar en 1950 exactamente se refiere a un enfoque a zeta funciones. (Así, por un par de años ya, he sospechado que Tate falta de interés en la publicación de su tesis fue de su conocimiento del "estado del arte" que hizo la tesis menos de la novela... y había muchas otras cosas en su mente.)

Ya en el siglo 19, y tal vez a finales del 18vo (Euler et al), hubo una visible apreciación intuitiva de la casi mágica conversión por la transformada de Fourier del suave-a-la decadencia de las propiedades. En particular, la cancelación de las propiedades implícitas y entendido.

Wiener y Bochner del cuidado de fundación de la transformada de Fourier de la teoría, y luego de Schwartz, hizo las características sutiles de van der Corput (y Landau y de Hardy-Littlewood anterior) expediciones más persuasivo.

(Yo no soy competente para hablar de los detalles de la historia de "el método circle", aunque soy consciente de que esto ha jugado un papel importante, con significativos avances recientes...)

Hecke, de Siegel, y Maass colectivo de trabajo de c. 1920 hasta 1960 podría decirse que ascendió a aplicaciones de análisis de armónicos en un sentido amplio (como contraposición a la realidad algebraica de las formas de la geometría algebraica).

Selberg y Roelcke sus ideas sobre el análisis armónico de automorphic formas en la década de 1950, estimulado por Maass " ideas para un grado considerable, no bastante éxito en el rumbo de la clásica cuestiones tales como RH, pero no le dio muchas ideas provocadoras acerca de.

R. Langlands' ideas fundamentales en el mediados de la década de 1960 en muchas maneras eran de satisfacción y precisification de pronunciamientos generales de Selberg, con muy pocas sorpresas. Harish-Chandra apreciado y documentados y se amplifica este. Ambas partes tenían experiencia previa con los temas de la teoría de la representación de la verdadera Mentira de los grupos, con las nacientes apreciación por la teoría de la representación de p-ádico grupos.

Duh, se puede decir mucho más, pero el punto es que es 150+ años de experiencia que muestra que el "análisis de Fourier" u otras moderno extrapolaciones de que no son meramente "útil", pero es esencial para la comprensión.

Una explicación filosófica? No sé. Decir que varias conjeturas de Langlands o los demás son adecuados para explicar la importancia que yo creo que es significativamente insuficiente... aunque no contra-factual.

En mi propia isla, la idea de que teniendo una función especial en un espacio más grande (por ejemplo, Siegel-tipo de Eisenstein serie en simpléctica grupo) y restringe la de menor tamaño razonable espacio (producto de la menor simpléctica grupos) y la descomposición en funciones propias (para varios operadores), que resulta de presentar algo de L-funciones como la descomposición de los coeficientes.

Es decir, ¿quién lo sabía?, pero la L-funciones y zeta funciones de llegar a ser un poco más accesible mediante la observación de ellos como los coeficientes de la descomposición...

En esas cosas... :)

23voto

Jasper Puntos 775

Recomiendo encarecidamente el hermoso artículo de George Mackey, Análisis armónico, como la Explotación de la simetría: una encuesta histórica . Es extremadamente largo, aunque fácil de leer; quizás pueda mirar la tabla de contenido y saltar a qué secciones son más relevantes de inmediato para su pregunta.

8voto

Rob F Puntos 71

Esto es mucho menos sofisticado que el de otras respuestas, pero voy a decir de todas maneras. Piense en los lugares en los reales donde $\cos(2 \pi s x)$ es cercano a 1. Estos lugares están cerca de una progresión aritmética con diferencia común $1/s$, por lo que sería de esperar que la integración de una medida en contra de $e(s x)$ elegir el sesgo de su medida hacia progresiones aritméticas de diferencia común $1/s$.

Del mismo modo, si un subconjunto de un grupo abelian se concentra en una progresión aritmética, esto corresponde a un gran coeficiente de Fourier. Por el contrario, si estás en la estimación de una suma de una función que no hay que esperar a estar sesgados hacia cualquier particular progresión, se esperaría que el sesgo lineal y por lo tanto los coeficientes de Fourier será pequeño, así que tiene sentido utilizar por ejemplo, Plancherel y tratar de estimar el lugar de su cantidad original.

Esto no suena como mucho, pero cómo me gusta pensar acerca del teorema de Roth por ejemplo: un gran coeficiente de Fourier implica que su conjunto está sesgado hacia algunos progresión aritmética, y esto lleva a una densidad de incremento; una falta de sesgo significa que el cero los coeficientes de Fourier son pequeños, así que sería de esperar que la estimación de los coeficientes de Fourier conducirá a una buena estimación para el número de 3-plazo de progresiones aritméticas.

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