Además el contenido de otros-ful respuestas y comentarios, especialmente para amplificar @ToddTrimble del recordatorio acerca de J. Tate tesis: no es ningún secreto que A. Weil, R. Godement, E. Artin, y K. Iwasawa había estado pensando acerca de la teoría de la representación de localmente compacto grupos de por lo menos una década antes de que Tate tesis. E. Artin del estudiante Margaret Matchett tesis de maestría en Indiana Univ. en 1946 ya se utiliza ideas similares, y K. Iwasawa ICM de hablar en 1950 exactamente se refiere a un enfoque a zeta funciones. (Así, por un par de años ya, he sospechado que Tate falta de interés en la publicación de su tesis fue de su conocimiento del "estado del arte" que hizo la tesis menos de la novela... y había muchas otras cosas en su mente.)
Ya en el siglo 19, y tal vez a finales del 18vo (Euler et al), hubo una visible apreciación intuitiva de la casi mágica conversión por la transformada de Fourier del suave-a-la decadencia de las propiedades. En particular, la cancelación de las propiedades implícitas y entendido.
Wiener y Bochner del cuidado de fundación de la transformada de Fourier de la teoría, y luego de Schwartz, hizo las características sutiles de van der Corput (y Landau y de Hardy-Littlewood anterior) expediciones más persuasivo.
(Yo no soy competente para hablar de los detalles de la historia de "el método circle", aunque soy consciente de que esto ha jugado un papel importante, con significativos avances recientes...)
Hecke, de Siegel, y Maass colectivo de trabajo de c. 1920 hasta 1960 podría decirse que ascendió a aplicaciones de análisis de armónicos en un sentido amplio (como contraposición a la realidad algebraica de las formas de la geometría algebraica).
Selberg y Roelcke sus ideas sobre el análisis armónico de automorphic formas en la década de 1950, estimulado por Maass " ideas para un grado considerable, no bastante éxito en el rumbo de la clásica cuestiones tales como RH, pero no le dio muchas ideas provocadoras acerca de.
R. Langlands' ideas fundamentales en el mediados de la década de 1960 en muchas maneras eran de satisfacción y precisification de pronunciamientos generales de Selberg, con muy pocas sorpresas. Harish-Chandra apreciado y documentados y se amplifica este. Ambas partes tenían experiencia previa con los temas de la teoría de la representación de la verdadera Mentira de los grupos, con las nacientes apreciación por la teoría de la representación de p-ádico grupos.
Duh, se puede decir mucho más, pero el punto es que es 150+ años de experiencia que muestra que el "análisis de Fourier" u otras moderno extrapolaciones de que no son meramente "útil", pero es esencial para la comprensión.
Una explicación filosófica? No sé. Decir que varias conjeturas de Langlands o los demás son adecuados para explicar la importancia que yo creo que es significativamente insuficiente... aunque no contra-factual.
En mi propia isla, la idea de que teniendo una función especial en un espacio más grande (por ejemplo, Siegel-tipo de Eisenstein serie en simpléctica grupo) y restringe la de menor tamaño razonable espacio (producto de la menor simpléctica grupos) y la descomposición en funciones propias (para varios operadores), que resulta de presentar algo de L-funciones como la descomposición de los coeficientes.
Es decir, ¿quién lo sabía?, pero la L-funciones y zeta funciones de llegar a ser un poco más accesible mediante la observación de ellos como los coeficientes de la descomposición...
En esas cosas... :)